愛知医科大学 医学部 数学（2024年度）全問題・超図解解説

まずは $2024$ を小さな素数 $2$ から順番に割っていきます。

$2024$ の正の約数は、$2^a \times 11^b \times 23^c$ の形で表されます。
それぞれの指数（右肩の数字）の選び方は、

• $2$ の指数 $a$：$0, 1, 2, 3$ の $3+1 = 4$ 通り
• $11$ の指数 $b$：$0, 1$ の $1+1 = 2$ 通り
• $23$ の指数 $c$：$0, 1$ の $1+1 = 2$ 通り

よって、正の約数の個数は、それぞれの選び方を掛け合わせて、 $$(3+1)(1+1)(1+1) = 4 \times 2 \times 2 = \mathbf{16}\text{（個）}$$

かっこを展開したときに $16$ 個すべての約数が1回ずつ登場する式（約数の総和の公式）を作ります。

「ちょうど $n$ 試合目で優勝が決まる」というのは、「$(n-1)$ 試合目までに優勝者が3勝しており、かつ $n$ 試合目に優勝者が4勝目を挙げる」ということです。いきなり $n$ 試合全体で $_n\mathrm{C}_4$ とやってしまうと、もっと前の試合で4勝して試合が終了しているケースまで数えてしまうので絶対NGです！

4試合目で優勝が決まるのは、「$\mathrm{A}$ が4連勝して優勝する」または「$\mathrm{B}$ が4連勝して優勝する」の2通り（互いに排反）です。

まず、6試合目で $\mathrm{A}$ が優勝する確率を求めます。
・第1〜第5試合の5試合で「$\mathrm{A}$ が3勝、$\mathrm{B}$ が2勝」する確率は、反復試行の確率より $${}_5\mathrm{C}_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2$$ ・続けて第6試合で「$\mathrm{A}$ が勝つ」確率は $\dfrac{1}{2}$ です。
よって、6試合目で $\mathrm{A}$ が優勝する確率は、

6試合目で $\mathrm{B}$ が優勝する確率も対称性からまったく同じ $\dfrac{10}{64}$ です。したがって、求める確率は2倍して、 $$\frac{10}{64} \times 2 = \frac{20}{64} = \mathbf{\frac{5}{16}}$$

内積 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を作り出すために、条件式 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{0}$ から関係ない $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ だけを右辺に移項します。

まず、$\triangle\mathrm{OAB}$ の面積を求めます。ベクトルを用いた三角形の面積公式より、

したがって、求める $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積は $\triangle\mathrm{OAB}$ の $3$ 倍となり、 $$\triangle\mathrm{ABC} = 3\triangle\mathrm{OAB} = 3 \times \frac{15\sqrt{7}}{4} = \mathbf{\frac{45\sqrt{7}}{4}}$$

$a>0$ より、すべての実数 $x$ に対して $x^2+a>0$ です。
$f(x) = (x^2+a)^{\frac{1}{2}} + (x^2+a)^{-\frac{1}{2}}$ と書き直して $x$ で微分します。中の関数 $(x^2+a)$ の微分 $2x$ を掛けるのを忘れないようにしましょう！

よって、空欄 (a) は $\mathbf{x(x^2+a-1)}$ （展開した $x^3+(a-1)x$ でも可）です。

分母 $(x^2+a)^{3/2}$ は常に正なので、$f'(x)$ の符号は分子 $g(x) = x(x^2+a-1)$ の符号だけで決まります。
もし $a-1 \geqq 0$（すなわち $a \geqq 1$）だと、$x^2+a-1 \geqq 0$ となり、$f'(x)$ の符号は $x<0$ で負、$x>0$ で正となるため、$x=0$ で極小値をもつだけで極大値をもちません。
したがって、極大値をもつためには $x^2+a-1=0$ が異なる2つの実数解をもつ必要があり、 $$a - 1 < 0 \iff a \lt 1$$ $a>0$ と合わせて $0 < a < \mathbf{1}$ となります（空欄 (b) は $\mathbf{1}$）。

$0 < a \lt 1$ のとき、$1-a > 0$ なので、$f'(x)=0$ となるのは $$x = 0, \quad x = \pm\sqrt{1-a}$$ の3点です。増減表は以下のようになります。

• 極大値（$x=0$ のとき）： $$f(0) = \sqrt{0+a} + \frac{1}{\sqrt{0+a}} = \mathbf{\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}} \quad \left(\text{または } \frac{a+1}{\sqrt{a}}\right)$$
• 極小値（$x=\pm\sqrt{1-a}$ のとき）：$x^2 = 1-a$ を代入すると $\sqrt{x^2+a} = \sqrt{(1-a)+a} = \sqrt{1} = 1$ となるので、 $$f(\pm\sqrt{1-a}) = 1 + \frac{1}{1} = \mathbf{2}$$

直線 $\mathrm{AD}: ax+by+c=0$ において、直線であるから $(a, b)\neq(0,0)$ すなわち $a^2+b^2 > 0$ です。
ここで、判別式や接点比較で場合分け不要のスマートな方法（接線公式との比較）と代入して判別式 $D=0$ を使う王道の方法のどちらでも同じ関係式 $c^2 = 4a^2+b^2$ が得られます。記述答案で最も減点されにくい丁寧な導出を示します。

点と直線の距離の公式より、原点 $(0, 0)$ から直線 $\mathrm{AD}: ax+by+c=0$ への距離 $d_1$ は、①（$|c| = \sqrt{4a^2+b^2}$）を代入して、

四角形 $\mathrm{ABCD}$ は長方形なので、辺 $\mathrm{AB}$ は辺 $\mathrm{AD}$ ($ax+by+c=0$) に垂直です。
$ax+by+c=0$ の法線ベクトルは $(a, b)$ なので、それに垂直な直線 $\mathrm{AB}$ の法線ベクトルは $(b, -a)$ ととれます。
よって、定数 $c'$ を用いて、直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は $$bx - ay + c' = 0$$ と表せます。
直線 $\mathrm{AB}$ も楕円 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ に接するので、STEP 1 の結果①において「$a$ を $b$ に、$b$ を $-a$ に、$c$ を $c'$ に」置き換えることで、 $$(c')^2 = 4b^2 + (-a)^2 = a^2 + 4b^2$$ が成り立ちます。したがって、原点から辺 $\mathrm{AB}$ への距離 $d_2$ は、

楕円 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ は原点に関して対称であるため、外接する長方形 $\mathrm{ABCD}$ も原点に関して対称です。
すなわち、原点から辺 $\mathrm{BC}$ への距離も $d_1$、原点から辺 $\mathrm{CD}$ への距離も $d_2$ となるので、長方形の隣り合う2辺の長さは $$\mathrm{AB} = 2d_1, \quad \mathrm{AD} = 2d_2$$ です。よって、三平方の定理より対角線の長さ $L$ は、

1) で求めた $d_1, d_2$ を代入して $d_1^2 + d_2^2$ を計算すると、

なんと、長方形がどの角度に傾いていても $d_1^2+d_2^2=5$（一定）となります！
したがって、対角線の長さ $L$ は、 $$L = 2\sqrt{5}$$

長方形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は、2辺の長さが $2d_1, 2d_2$ であるから、 $$S = (2d_1)(2d_2) = 4d_1d_2$$ です。ここで、2) より $d_1^2 + d_2^2 = 5$（一定）であり、$d_1^2 > 0, d_2^2 > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

等号が成立するのは、$d_1 > 0, d_2 > 0$ より $$d_1 = d_2 \left(= \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$$ すなわち長方形 $\mathrm{ABCD}$ が正方形になるときです！

等号成立条件 $d_1 = d_2$ を $a, b$ の式で表すと、

このとき、①より $c^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2 \iff c = \pm\sqrt{5}a$ となります。
直線の方程式 $ax+by+c=0$ の両辺を $a (\neq 0)$ で割ると、長方形の4辺の方程式は次の4本になります：

これらの4直線の交点を求めると、ちょうど $x$ 軸上および $y$ 軸上の4点になります！
・$x+y=\sqrt{5}$ と $x-y=\sqrt{5}$ の交点：$(\sqrt{5}, 0)$
・$x+y=\sqrt{5}$ と $x-y=-\sqrt{5}$ の交点：$(0, \sqrt{5})$
・$x+y=-\sqrt{5}$ と $x-y=-\sqrt{5}$ の交点：$(-\sqrt{5}, 0)$
・$x+y=-\sqrt{5}$ と $x-y=\sqrt{5}$ の交点：$(0, -\sqrt{5})$

不等式 $-\sqrt{k}\leqq x\leqq\sqrt{k}$ は、両辺が $0$ 以上であることに注意して2乗すると $x^2 \leqq k$ を満たす整数 $x$ と考えることもできます。$k=1, 2, 3, 4$ について調べましょう。

したがって、求める $S_4$ は、 $$S_4 = \sum_{k=1}^{4}a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 3 + 3 + 3 + 5 = \mathbf{14}$$

$k \geqq 1$ に対して、$\sqrt{k}$ 以下の最大の整数（$\sqrt{k}$ の整数部分）を $m$ とおきます。
すなわち、$m$ は次の不等式を満たす自然数です： $$m \leqq \sqrt{k} < m + 1 \quad \cdots \text{①}$$

①より、$-(m+1) < -\sqrt{k} \leqq -m$ でもあるから、$-\sqrt{k} \leqq x \leqq \sqrt{k}$ を満たす整数 $x$ は、 $$x = -m, -(m-1), \cdots, -1, 0, 1, \cdots, m-1, m$$ です。その個数 $a_k$ は、 $$a_k = m - (-m) + 1 = \mathbf{2m + 1} \quad \cdots \text{②}$$ と表せます。

①の不等式 $m \leqq \sqrt{k} < m + 1$ を2つに分けて変形します。

以上を合わせることで、すべての自然数 $k=1, 2, \cdots$ に対して $$2\sqrt{k} - 1 < a_k \leqq 2\sqrt{k} + 1$$ が成り立つことが証明されました。（証明終）

2)で証明した不等式 $2\sqrt{k}-1 < a_k \leqq 2\sqrt{k}+1$ について、$k=1, 2, \cdots, n$ として辺々を加えると、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1 = n$ であるから、

※ $\dfrac{\sqrt{k}}{n^{\frac{3}{2}}} = \dfrac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} = \dfrac{1}{n}\sqrt{\dfrac{k}{n}}$ 、および $\dfrac{n}{n^{\frac{3}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ と変形しています！

ここで、区分求積法の公式 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1}f(x)\,dx$ において $f(x)=\sqrt{x}$ とすると、

また、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ であるから、③の左辺および右辺の $n\to\infty$ における極限はともに、

よって、はさみうちの原理により、 $$\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^{\frac{3}{2}}} = \mathbf{\frac{4}{3}}$$