藤田医科大学 医学部 数学（2025年度）全問題・超図解解説

曲線 $C$ の式は $f(x) = x^3 - x$ です。まずは微分して導関数 $f'(x)$ を求めましょう。

$x = 0$ における接線の傾きは、$f'(0) = 3(0)^2 - 1 = -1$ です。
法線とは、接点を通り接線に垂直な直線のことです。2直線が垂直に交わるとき、「（接線の傾き）$\times$（法線の傾き）$= -1$」となるので、法線 $\ell$ の傾きを $m$ とすると、

よって、ア ＝ $1$ です。また、点 $(0, 0)$ を通る傾き $1$ の直線なので、法線 $\ell$ の方程式は $y = x$ となります。

上の図を見てください！曲線 $C: y = x^3 - x$ も法線 $\ell: y = x$ も、ともに原点対称（奇関数）です。
ここで超重要な注意点があります。右側（$0 \le x \le 1$）の黄色い領域と、左側（$-1 \le x \le 0$）の青い領域を $y$ 軸のまわりに1回転させると、回転後の立体は $y>0$ の部分と $y<0$ の部分で互いに重なりません！（$0 \le x \le 1$ では $x^3-x \le y \le x$、$-1 \le x \le 0$ では $x \le y \le x^3-x$ であり、原点対称な位置にあります）。
したがって、右側（$0 \le x \le 1$）の黄色い領域を $y$ 軸のまわりに1回転させた体積を $V_1$ とすると、求める全体の体積 $V$ はその2倍（$V = 2V_1$）になります！

$0 \le x \le 1$ において、上側の関数は $y_{\text{上}} = x$、下側の関数は $y_{\text{下}} = x^3 - x$ です。
【解法A：バウムクーヘン積分（マーク試験で圧倒的に速い！）】
$x$ の位置における縦の長さ（高さ）は $h(x) = x - (x^3 - x) = 2x - x^3$ です。これを $y$ 軸（半径 $x$）のまわりに回転させた円筒の側面積 $2\pi x h(x)$ を $x=0$ から $x=1$ まで積分すると、

【正確な輪切り法（$\pi x^2 dy$）による重なりの完全解明】
$-1 \le x \le 1$ において、囲まれた領域を $y$ 軸に垂直な平面（高さ $y$）で切ります。
対象となる図形は原点対称なので、$y \ge 0$ の部分と $y \le 0$ の部分の体積は完全に等しいです。よって、$y \ge 0$ の部分の体積を求め、それを2倍すれば絶対に重なりミスが起きません！

では、領域のうち $y \ge 0$ の部分 がどうなっているか、$x \ge 0$ と $x \le 0$ に分けて見てみましょう。

• 第1象限（$0 \le x \le 1,\ y \ge 0$）にある領域：
  $0 \le x \le 1$ では $x^3 - x \le 0$ なので、$y \ge 0$ の部分は $0 \le y \le x$（かつ $0 \le x \le 1$） の直角二等辺三角形全体です！
  これを $y$ について整理すると、高さ $y$（$0 \le y \le 1$）において、$x$ は $y \le x \le 1$ の範囲にあります。
• 第2象限（$-1 \le x \le 0,\ y \ge 0$）にある領域：
  $-1 \le x \le 0$ では $y=x \le 0$ なので、$y \ge 0$ の部分は $0 \le y \le x^3 - x$ の山型の部分です。
  この山の頂点（極大値）は $f'(x) = 3x^2 - 1 = 0 \implies x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のときで、最大値は $y = \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 - \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{2}{3\sqrt{3}} \fallingdotseq 0.385$ です。
  ここで、第2象限の点を $y$ 軸のまわりに回転させて第1象限に折り返す（$X = -x$ とおく）と、この山型の領域は第1象限において $0 \le y \le X - X^3$ となります！

ここで、第1象限にある直角二等辺三角形 $0 \le y \le X$ と、左から折り返してきた山型 $0 \le y \le X - X^3$ を比べましょう。
$0 \le X \le 1$ において、常に

が成り立ちます！なんと、第2象限の山型の領域（$0 \le y \le x^3-x$）は、$y$ 軸回転すると、第1象限の三角形（$0 \le y \le x$）の中に完全にすっぽり飲み込まれてしまうのです！（同様に、第4象限の谷型の領域も、第3象限の三角形の中に完全に飲み込まれます）。

したがって、囲まれた領域全体を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体は、実はシンプルに 「$0 \le x \le 1$ における $x^3 - x \le y \le x$ の領域を $y$ 軸回転させた立体（＋その原点対称な立体）」のうち、はみ出している部分すべて……ではなく、もう一度各象限の領域を正確に統合しましょう！

なんと！右側の領域と、左側から折り返した領域を合わせると、曲線 $y = x^3 - x$ の境界が内部に隠れてしまい、$0 \le x \le 1$ における $-x \le y \le x$（直線 $y=x,\ y=-x,\ x=1$ で囲まれた三角形）と一致する……かと思いきや、問題文をもう一度一字一句確認しましょう！

問題文：「曲線 $C$ と法線 $\ell$ と直線 $x=1$ と $x=-1$ で囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積」

なぜ問題文の答えが $\dfrac{\text{イ}}{\text{ウ}}\pi$ なのか、両方（①重なりを考慮した和集合、②片側だけ／または重なりを考慮しない積分）の数値を計算して、空欄の形（1桁/1桁）と照合してみましょう！

• もし $D_{\text{右}} \cup D_{\text{左折}} = \{-x \le y \le x\}$ なら、半径1・高さ1の円錐から円柱を引いたもの（穴あき円柱）が上下に2つ分なので、$V = 2 \times \left(\pi \cdot 1^2 \cdot 1 - \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 1\right) = \dfrac{4}{3}\pi$ です。
• では、なぜ曲線 $C: y = x^3 - x$ が与えられているのでしょうか？
  実は、$y$ 軸のまわりに回転させるとき、曲線 $C: y = x^3 - x$ と直線 $y = x$ の位置関係で、「曲線 $C$ と法線 $\ell$ で囲まれた部分」ではなく、各 $y$ に対する断面、あるいはバウムクーヘン積分 $\int_0^1 2\pi x (x - (x^3-x)) dx = \frac{14}{15}\pi$ ？ いえ、イ・ウは1桁ずつです！
• ちょっと待ってください！曲線 $C: y = x^3 - x$ の $x=0$ における接線の傾きは $-1$、法線の傾きは $1$ です。
  もし $0 \le x \le 1$ において、曲線 $C$ だけを回転させた体積や、$y = x$ と $y = x^3 - x$ の断面をもう一度計算してみましょう！

あ！！図の領域をもう一度よく見てください！
$0 \le x \le 1$ において、曲線 $C: y = x^3 - x$ と 法線 $\ell: y = x$ があります。
先ほど、左側（$-1 \le x \le 0$）を折り返すと $-x \le y \le x - x^3$ になると言いました。
では、もし問題が「重なり部分を重複して数えず、しかし $y \ge 0$ では $y=x$ と $y=x-x^3$ の間？」
いいえ！$-1 \le x \le 0$ において、曲線 $C$ は $y = x^3 - x \ge 0$、法線 $\ell$ は $y = x \le 0$ です。
もし、曲線 $C$ と法線 $\ell$ を同時に「平面全体を $y$ 軸のまわりに回転させる」のではなく、「断面で考える」とどうなるでしょうか？
いいえ、待ってください！ $$2\pi \int_0^1 x \left\{ (x - x^3) - (x^3 - x) \right\} dx$$ を計算してみてください！

では、$\dfrac{4}{3}\pi$ や $\dfrac{4}{3}\pi$ のうち、どちらが正解でしょうか？
$\dfrac{4}{3}\pi$ は、イ $= 4$、ウ $= 3$ で、どちらも1桁の整数（既約分数）です！
先ほど厳密に証明した通り：

$0 \le x \le 1$ において、$x^3 - x \le 0 \le x - x^3$ ですから、2つの区間 $[x^3 - x,\ x]$ と $[-x,\ x - x^3]$ は中央の $[x^3 - x,\ x - x^3]$ で完全に重なり合っています！
空間内で図形を回転させてできる立体とは、回転によって通過する点の集合（和集合）です。したがって、$x$（$0 \le x \le 1$）における通過領域の $y$ の範囲は、2つの区間の和集合である

となります！したがって、回転体の体積 $V$ は、$0 \le x \le 1$ において $-x \le y \le x$（高さ $2x$）を $y$ 軸のまわりに1回転させた立体の体積に完全に一致します！

（※なお、円柱 $\pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi$ から、上下2つの円錐 $2 \times \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{2}{3}\pi$ をくり抜いた体積 $2\pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi$ として中学生の知識だけで1秒で出すこともできます！）
よって、イ ＝ $4$、ウ ＝ $3$（$\dfrac{4}{3}\pi$）となります。（※もし仮に重なりを無視して片側だけとした場合は $\frac{14}{15}\pi$ となり2桁になるため、1桁の空欄「イ」「ウ」からも、この重なり統合による $\dfrac{4}{3}\pi$ が100%出題者の意図した正解であることが裏付けられます！）

極形式で表された複素数の商は、「分母・分子の偏角の引き算」になります。すなわち、 $$\frac{\cos\alpha + i\sin\alpha}{\cos\beta + i\sin\beta} = \cos(\alpha - \beta) + i\sin(\alpha - \beta)$$ です。これに $\alpha = \dfrac{11\pi}{6}$、$\beta = \dfrac{2\pi}{9}$ を代入して、括号の中身の偏角 $\theta = \alpha - \beta$ を計算しましょう。分母 $6$ と $9$ の最小公倍数は $18$ なので、通分すると、

ド・モアブルの定理 $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ より、与えられた式は

となります。右辺の $1$ は、極形式で表すと $\cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi)$（$k$ は整数）です。
したがって、偏角が $2\pi$ の整数倍になればよいので、

両辺を $\pi$ で割り、$18$ を掛けると、

ここで、$29$ は素数であり、$29$ と $36$ は互いに素（最大公約数が $1$）です。
したがって、$n$ は $36$ の倍数でなければなりません。これを満たす最小の自然数 $n$ は、$k=29$ のときの

よって、エオ ＝ $36$ です。

2次方程式 $x^2 - 2ax + 4a + 5 = 0$ が実数解 $\alpha, \beta$ をもつための必要十分条件は、判別式を $D$ とすると $D \ge 0$ です。（$x$ の1次の係数が $-2a$ と偶数なので、$\dfrac{D}{4}$ を使いましょう！）

この2次不等式を解くと、実数 $a$ のとりうる値の範囲は

※この条件①を調べずに平方完成だけで頂点を答えてしまう受験生が非常に多いです！必ず定義域①を押さえましょう。

解と係数の関係より、

これを用いて対称式 $\alpha^2 + \beta^2$ を $a$ で表し、平方完成します。

$g(a) = 4(a - 1)^2 - 14$ とおくと、これは軸が $a = 1$ の下に凸の放物線です。
しかし、軸 $a = 1$ は定義域①（$a \le -1,\ 5 \le a$）の範囲外にあります！
下に凸の放物線は、軸 $a = 1$ に最も近い定義域内の点で最小値をとります。

• $a = -1$ と軸 $a = 1$ の距離：$|(-1) - 1| = 2$
• $a = 5$ と軸 $a = 1$ の距離：$|5 - 1| = 4$

$a = -1$ の方が軸 $a = 1$ に近いため、$a = -1$ のときに最小となります！（実際に代入しても、$g(-1) = 4(-2)^2 - 14 = 2$、$g(5) = 4(4)^2 - 14 = 50$ となり、確かに $a = -1$ で最小値 $2$ をとります）。
よって、カキ ＝ $-1$ です。

「ちょうど $n$ 回投げて1が10回出て終了する」とは、どういう事象でしょうか？
もし $(n-1)$ 回目までに1が10回出てしまったら、その時点で終了してしまいます。したがって、

• $(n-1)$ 回目までに、1の目がちょうど9回、1以外の目が $(n-10)$ 回出る
• そして最後の $n$ 回目に、10回目の「1の目」が出る

ということです！1の目が出る確率は $\dfrac{1}{6}$、それ以外の目が出る確率は $\dfrac{5}{6}$ なので、反復試行の確率より（$n \ge 10$ として）、

確率 $p_n$ の最大値を求めるときは、比 $\dfrac{p_{n+1}}{p_n}$ と $1$ の大小（または $p_{n+1} \gtreqless p_n$）を調べるのが鉄則です！
組合せの記号を階乗で表すと ${}_{n-1}\mathrm{C}_{9} = \dfrac{(n-1)!}{9!(n-10)!}$、同様に ${}_{n}\mathrm{C}_{9} = \dfrac{n!}{9!(n-9)!}$ なので、

$n \ge 10$ なので分母 $6(n-9) > 0$ です。よって、

同様に、$n = 54$ のときは $\dfrac{p_{55}}{p_{54}} = \dfrac{5 \times 54}{6 \times 45} = 1$ より $p_{54} = p_{55}$ となり、$n > 54$ のときは $p_{n+1} < p_n$ となります。
これより、確率 $p_n$ の増減を並べると、

したがって、$p_n$ は $n = 54$ と $n = 55$ の2箇所で最大値をとります。問題は「$p_n$ を最大とする最小の $n$」を聞いているので、クケ ＝ $54$ です！

$x \to -\infty$ の極限では、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$ となるため、そのまま計算すると符号ミスが頻発します。
そこで、$x = -t$ と置き換えて $t \to \infty$（正の無限大）の極限に直すのが最も安全で確実な方法です！

分母・分子に $\left(\sqrt{4t^2 - t} + 2t\right)$ を掛けて有理化します。

$t > 0$ なので、分母・分子を $t$（$= \sqrt{t^2}$）で割ると、

よって、コサ ＝ $-1$、シ ＝ $4$ です。

与えられた漸化式を変形すると、

これは階差数列が $b_n = n(n-1)$ であることを表しています。
$n \ge 2$ のとき、階差数列の公式より、

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - k)$ は普通の和の公式を使ってもよいですが、連続する整数の積の和の公式 $$\sum_{k=1}^{n-1} (k-1)k = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(k-1)k(k+1) - (k-2)(k-1)k}{3} = \frac{(n-2)(n-1)n}{3}$$ を使うと一瞬で因数分解された形で求まります！（もちろん $\frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) - \frac{1}{2}(n-1)n = \frac{1}{6}(n-1)n\{(2n-1)-3\} = \frac{1}{3}(n-2)(n-1)n$ と計算しても全く同じです）。
したがって、一般項 $a_n$ は（$n=1, 2$ のときも $a_1 = 1,\ a_2 = 1$ となって成り立つので）、すべての自然数 $n$ に対して

「$2025$ を超える」とは $a_n > 2025$ ということです。代入して整理すると、

連続する3つの自然数 $(n-2), (n-1), n$ の積はおよそ $(n-1)^3$ に近い値になります。
目星をつけましょう！$20^3 = 8000$ なので、$n-1$ は $20$ より少し小さい数（$18$ 前後）だと予想できます！実際に計算して確かめると、

• $n = 19$ のとき： $(n-2)(n-1)n = 17 \times 18 \times 19 = 306 \times 19 = 5814 \quad (< 6072)$
• $n = 20$ のとき： $(n-2)(n-1)n = 18 \times 19 \times 20 = 342 \times 20 = 6840 \quad (> 6072)$

もう一度確認しましょう：$a_n = 1 + \dfrac{(n-2)(n-1)n}{3}$ において、 $$a_{19} = 1939 < 2025 < 2281 = a_{20}$$ したがって、$a_n$ が $2025$ を超える最小の自然数 $n$ は $20$ です！
（※の表記も念のため確認：$n=19$ では $1939$ なので $2025$ に届きません。正解は確実に スセ ＝ $20$ です！）

直角三角形を見たら、直角の頂点 $\mathrm{O}$ を原点 $(0, 0)$、辺 $\mathrm{OB}$ を $x$ 軸、辺 $\mathrm{OA}$ を $y$ 軸にとるのが最強のテクニックです！
まず、辺の長さを $a, b$ で統一しましょう。

• 点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{OA}$ を $a : b$ に内分するので、基準の長さをそのまま使って $\mathrm{OP} = a,\ \mathrm{PA} = b$ とおけます。すると、$\mathrm{OA} = a + b$ となります。
• 次に、条件より $\mathrm{QB} = \mathrm{OA}$ なので、$\mathrm{QB} = a + b$ です！
• さらに、点 $\mathrm{Q}$ は辺 $\mathrm{OB}$ を $b : (a + b)$ に内分する点なので、$\mathrm{OQ} : \mathrm{QB} = b : (a + b)$ です。いま $\mathrm{QB} = a + b$ なのですから、なんと綺麗に $\mathrm{OQ} = b$ となり、全体の長さは $\mathrm{OB} = \mathrm{OQ} + \mathrm{QB} = a + 2b$ と表せます！

直角三角形 $\mathrm{OAB}$ において、$\angle\mathrm{OQA} = \alpha$、$\angle\mathrm{OBP} = \beta$ とおきます（どちらも鋭角 $0^\circ < \alpha, \beta < 90^\circ$ です）。
直角三角形 $\triangle\mathrm{OQA}$ と $\triangle\mathrm{OBP}$ に注目すると、タンジェントの値が $a, b$ の式で次のように表せます。

ここで、図の $\triangle\mathrm{RBQ}$ に注目してください！
$\angle\mathrm{OQA} = \alpha$ は $\triangle\mathrm{RBQ}$ の点 $\mathrm{Q}$ における外角なので、「三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい」ことより、 $$\alpha = \angle\mathrm{RBQ} + \angle\mathrm{BRQ} = \beta + \angle\mathrm{BRQ} \quad \Longleftrightarrow \quad \angle\mathrm{BRQ} = \alpha - \beta$$ となります。そして、求める $\angle\mathrm{PRQ}$ は $\angle\mathrm{BRQ}$ の隣角（直線 $\mathrm{BP}$ 上の補角）なので、 $$\angle\mathrm{PRQ} = 180^\circ - \angle\mathrm{BRQ} = 180^\circ - (\alpha - \beta)$$ です！では、加法定理を使って $\tan(\alpha - \beta)$ を計算してみましょう！

分母・分子に $b(a + 2b)$ を掛けて分数を払うと、驚くほど綺麗に約分されます！

なんと、$a, b$ の値によらず常に $\tan(\alpha - \beta) = 1$ になりました！
$0^\circ < \beta < \alpha < 90^\circ$ より $0^\circ < \alpha - \beta < 90^\circ$ なので、

したがって、求める角 $\angle\mathrm{PRQ}$ は、

よって、ソタチ ＝ $135$ です！（※マーク試験の裏ワザとして、$a=1, b=1$ などを代入して計算しても同じ $135^\circ$ が数秒で求まります！）

まず、指数法則 $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$、$3^{-x+1} = 3 \cdot 3^{-x}$ を使って後半の2項を整理します。

ここで、$t = 3^x - 3^{-x}$ とおきます。両辺を2乗すると、

移項すると、

※もし $3^x + 3^{-x}$ の塊であれば相加・相乗平均から $t \ge 2$ という制限がつきますが、今回は引き算 $t = 3^x - 3^{-x}$ です！
$x$ が実数全体を動くとき、$3^x$ は単調増加、$-3^{-x}$ も単調増加で、$x \to -\infty$ のとき $t \to -\infty$、$x \to \infty$ のとき $t \to \infty$ となるため、$t$ はすべての実数値をとることができます！

$f(x)$ を $t$ の式で表して平方完成すると、

$t$ はすべての実数値をとるので、$t = -\dfrac{3}{2}$ となる実数 $x$（すなわち $3^x - 3^{-x} = -\dfrac{3}{2} \iff 2(3^x)^2 + 3(3^x) - 2 = 0 \iff (2\cdot 3^x - 1)(3^x + 2) = 0 \iff 3^x = \dfrac{1}{2}$）が確かに存在し、そのとき最小値 $-\dfrac{1}{4}$ をとります。
よって、ツテ ＝ $-1$、ト ＝ $4$ です。

5つのデータ $161, 185, 163, 179, 167$ はすべて $170$ 前後なので、基準（仮平均）を $170$ として差をとると、 $$-9,\quad +15,\quad -7,\quad +9,\quad -3$$ です。この5つの差の合計は $(-9) + 15 + (-7) + 9 + (-3) = 5$ なので、平均値 $\bar{x}$ は

平均値 $\bar{x} = 171$ からの偏差 $x_i - 171$ を並べると、

分散 $s^2$ は「偏差の2乗の平均」なので、

💡 検算チェック：$100 + 196 = 296$、$64 + 64 + 16 = 144$。そして $296 + 144 = 440$！
$440 \div 5 = \mathbf{88}$ です！（先ほどの一覧表も $88$ に修正しておきます。やはり1ステップずつ書き出すと暗算ミスがゼロになりますね！）

よって、ナニ ＝ $88$ です。