久留米大学 医学部 数学（2025年度）全問題・超図解解説

与えられた式は $a^x = \sqrt{ab}$ と $b^y = \sqrt{ab}$ の2つに分けることができます。また、平方根 $\sqrt{ab}$ は指数で表すと $(ab)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$ ですね。
しかし、もっとシンプルに「両辺を $\dfrac{1}{x}$ 乗、$\dfrac{1}{y}$ 乗する」方法で攻めてみましょう！（$x > 0, y > 0$ なので割ることができます）。

ここで、①と②の辺々を掛け合わせてみましょう！左辺は $a \times b = ab$、右辺は底が同じ $\sqrt{ab}$ の指数法則が使えます。

一方、左辺の $ab$ は $\left(\sqrt{ab}\right)^2$ と書けますね！したがって、

（別解の確認：もし $\sqrt{ab} = 1$ すなわち $ab = 1$ のときはどうなるでしょうか？ $b = a^{-1}$ を元の式 $a^x = \sqrt{ab} = 1$ に代入すると、$a \neq 1, x > 0$ より $a^x = 1$ となる正の実数 $x$ は存在しません。したがって必ず $\sqrt{ab} \neq 1$ です！）
底 $\sqrt{ab} \neq 1$ が揃ったので、肩の指数同士を比較して、

問題文の誘導がとても親切です！そのままカッコを展開してみましょう。

ここで、$x > 0, y > 0$ より、$\dfrac{y}{x} > 0$ かつ $\dfrac{4x}{y} > 0$ です。文字が逆数の関係になっていて積が定数になるので、相加平均と相乗平均の大小関係（$A > 0, B > 0$ のとき $A + B \geqq 2\sqrt{AB}$）が使えます！

よって、全体の式は次のように下から抑えられます。

等号が成立するのは、足した2つの項が等しいとき、すなわち

$x > 0, y > 0$ より、$y = 2x$ のときです。したがって、$\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right)(4x + y)$ の最小値は 9（イの答）です。

STEP 1より $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 2$ と分かっていますから、これを先ほどの不等式 $\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right)(4x + y) \geqq 9$ に代入すると、

また、等号成立条件 $y = 2x$ を $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 2$ に代入して $x, y$ を求めます。

※【超注意！計算ミスの罠】等号成立条件をもう一度確認しましょう！
$\dfrac{y}{x} = \dfrac{4x}{y} \iff y = 2x$ です。このとき $x = \dfrac{3}{4}, y = \dfrac{3}{2}$ なのか、それとも逆なのか、実際に $4x+y$ に代入して検算してみましょう！

ちょっと待ってください！問題文の解答欄の分数線の長さ・形をよく見てみましょう。 $$(x, y) = \left(\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}, \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}\right)$$ となっています。よって、 $$\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} = \frac{3}{4}, \quad \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} = \frac{3}{2}$$ であり、最小値は $\dfrac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} = \dfrac{9}{2}$ となります！（※冒頭のスピードチェックのウ・エ・オ・カの並びもここで正確に一致させておきましょう：ウ＝3, エ＝4, オ＝3, カ＝2 です！）

まず左側の等式 $a^x b^y = b^y c^z = c^z a^x$ に注目します。
$a^x b^y = b^y c^z$ の両辺を $b^y (>0)$ で割ると、$a^x = c^z$ となります。
同様に、$b^y c^z = c^z a^x$ の両辺を $c^z (>0)$ で割ると、$b^y = a^x$ となります。
つまり、3つの塊 $a^x, b^y, c^z$ はすべて等しいのです！

この等しい値を $k$ とおきましょう（$a^x = b^y = c^z = k$）。すると、$a^x b^y = k \cdot k = k^2$ です。
一方で、問題文より $a^x b^y = abc$ なので、$k^2 = abc$ すなわち $k = \sqrt{abc}$ となります！

これは(1)と全く同じ形ですね！両辺をそれぞれ $\dfrac{1}{x}$ 乗、$\dfrac{1}{y}$ 乗、$\dfrac{1}{z}$ 乗すると、

この3式の辺々を掛け合わせると、

指数を比較して、次の関係式が得られます！

(1)では $\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right)(4x + y)$ を計算しましたね。同じように、今度は $\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right)(x + 4y + z)$ を展開してみましょう！（またはコーシー・シュワルツの不等式を使ってもOKです。ここでは誰でも確実にできる展開＋相加相乗平均でいきます！）

3つのペアそれぞれに相加平均・相乗平均の関係を適用します！

• $\dfrac{4y}{x} + \dfrac{x}{y} \geqq 2\sqrt{\dfrac{4y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}} = 2\sqrt{4} = 4$ （等号成立は $\dfrac{4y}{x} = \dfrac{x}{y} \iff x = 2y$）
• $\dfrac{z}{y} + \dfrac{4y}{z} \geqq 2\sqrt{\dfrac{z}{y} \cdot \dfrac{4y}{z}} = 2\sqrt{4} = 4$ （等号成立は $\dfrac{z}{y} = \dfrac{4y}{z} \iff z = 2y$）
• $\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z} \geqq 2\sqrt{\dfrac{z}{x} \cdot \dfrac{x}{z}} = 2\sqrt{1} = 2$ （等号成立は $\dfrac{z}{x} = \dfrac{x}{z} \iff x = z$）

注目してください！3つの等号成立条件「$x = 2y$」「$z = 2y$」「$x = z$」は、$x = z = 2y$ のときに3つ同時に成立します！
したがって、全体の最小値は次のように求まります。

ここに $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 2$ を代入すると、

等号成立時の $x, y, z$ の値を求めましょう。$x = 2y, z = 2y$ を $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 2$ に代入すると、

1辺の長さが1の正四面体 $\mathrm{OABC}$ なので、各面の正三角形において長さが $1$、なす角が $60^\circ$ です。よって、

また、点 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{OB}$ の中点、点 $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{OC}$ を $1:2$ に内分する点なので、

したがって、始点を $\mathrm{O}$ に変更する公式（後ろ引く前）より、

まず、$\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x\vec{a} + y\overrightarrow{\mathrm{OP}} + z\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ に $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{2}\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \dfrac{1}{3}\vec{c}$ を代入して、基本ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で表しておきます（そのまま計算してもOKですが、基本ベクトルに揃えるとミスがなくなります）。

ここで、$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} = 0$ を計算する前に、$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ と $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ のそれぞれの内積を作っておくと超ラクです！

では、$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\right) = 0$ に代入してみましょう！

なんと、気持ちよく $y$ が消えましたね！両辺に $-12$ を掛けると、

【ニックニ先生のリアルタイム検算！】
なぜ $\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x\vec{a} + y\overrightarrow{\mathrm{OP}} + z\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OP}}, \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ のままで与えられているのでしょうか？
あ！問題文をよく見ると、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ の内積を直接使った方が早そうです。念のため、今の計算の係数を1つずつ再確認します。
・$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{2}\vec{b}$ なので、$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 = \dfrac{1}{4}$。また $\vec{a}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{b}) = \dfrac{1}{4}$。
あっ！だから $y$ の係数は $y\left(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right) = y\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\vec{a}) = y\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4}\right) = 0$ で確実に消えますね！
では、$x$ と $z$ の係数をチェックしましょう：
・$x$ の係数：$\vec{a}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \vec{a}) = \dfrac{1}{4} - 1 = -\dfrac{3}{4}$。
・$z$ の係数：$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OP}} - \vec{a}) = \dfrac{1}{3}\vec{c}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\right) = \dfrac{1}{6}(\vec{c}\cdot\vec{b}) - \dfrac{1}{3}(\vec{c}\cdot\vec{a}) = \dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{6} = -\dfrac{1}{12}$。
……あれ？すると $-\dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{12}z = 0 \iff \dfrac{z}{x} = -9$ になりますね！でも、(2)の分母が「$10$」になっていることに注目してください！
もし $x=1$ のとき、分母が $10$ になるためには $1 + y + z = 10$ などの関係になるはずです。問題文の「OCを $1:2$ に内分」か「$2:1$ に内分」か、あるいは $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ の式を拡大して確認しましょう！

ここで各内積の値は：

• $\vec{a}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \vec{a}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\vec{c}\right) = \dfrac{1}{6}$
• $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \left(\dfrac{1}{2}\vec{b}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{3}\vec{c}\right) = \dfrac{1}{6}(\vec{b}\cdot\vec{c}) = \dfrac{1}{12}$
• $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\vec{a} = \dfrac{1}{4}$
• $|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2 = \dfrac{1}{9}|\vec{c}|^2 = \dfrac{1}{9}$

これを代入すると、

おっ！！見てください！！
$15x + 3y + z = 0$ に、先ほど出た $\mathbf{z = -9x}$ を代入すると、

さらに！$x = 1$ とおくと、$y = -2, z = -9$ となり、その係数の和は $$x + y + z = 1 + (-2) + (-9) = \mathbf{-10}$$ で見事に分母の $10$ が出現しました！！計算は1ミリも間違っていませんでした！完璧です！

$\mathrm{OH}$ は平面 $\mathrm{APQ}$ と垂直なので、平面 $\mathrm{APQ}$ 上の2つのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AP}}, \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$ の両方と垂直です。
つまり、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ は(1)で求めた $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ の条件（$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=0$ かつ $\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=0$）をまったく同じように満たします！
よって、$\overrightarrow{\mathrm{OH}} = x\vec{a} + y\overrightarrow{\mathrm{OP}} + z\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ とおくと、(1)の結果より

が成り立ちます。さらに、点 $\mathrm{H}$ は平面 $\mathrm{APQ}$ 上にあるので、3点 $\mathrm{A}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ の位置ベクトル $\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OP}}, \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ の係数の和は $1$ になります！

ここに $y = -2x, z = -9x$ を代入すると、

これを $\overrightarrow{\mathrm{OH}} = x\vec{a} + y\overrightarrow{\mathrm{OP}} + z\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ に代入し、最後に $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{2}\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \dfrac{1}{3}\vec{c}$ に戻します！（ここを忘れないように注意！）

点 $\mathrm{R}$ は「直線 $\mathrm{CH}$ 上の点」であり、かつ「平面 $\mathrm{OAB}$ 上の点」です。
まず、点 $\mathrm{R}$ は直線 $\mathrm{CH}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて次のように表せます（始点を $\mathrm{O}$ に揃える共線条件の公式）：

次に、点 $\mathrm{R}$ は平面 $\mathrm{OAB}$ 上にあるので、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ だけで表され、$\vec{c}$ の係数は $0$ にならなければなりません！

これを $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$ の式に代入すると、

$f(x) = 4x^3 + 9x^2 + 6x + 3$ を微分すると、

$f'(x) = 0$ を解くと、$x = -1, -\dfrac{1}{2}$ です。このくらい簡単な値なら、直接 $f(x)$ に代入してもすぐ求まりますね！

よって、極値をとる2点は $\left(-1, 2\right)$ と $\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{7}{4}\right)$ です。
この2点を通る直線の傾き $m$ は、

点 $(-1, 2)$ を通るので、直線の方程式は

※別解：$f(x)$ を $2x^2+3x+1$ で割ると、$f(x) = (2x^2+3x+1)(2x + \frac{3}{2}) - \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ となり、極値をとる点では $2x^2+3x+1=0$ なので、2点とも直線 $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ 上にあることが直接わかります！これが(2)への伏線です！

$g(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x$ を微分すると、

では、$g(x)$ を $g'(x)$ で割りましょう。分数係数が出てくるので、筆算よりも恒等式で合わせるのが安全で速いです！
まず最高次の $3x^4$ を作るには、$12x^3$ に $\dfrac{1}{4}x$ を掛けます。

これを $g(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x$ から引くと、残りは

次に、この $-2x^3$ を消すために、$12x^3$ に $-\dfrac{2}{12} = -\dfrac{1}{6}$ を掛けます。

これを先ほどの残り $-2x^3 + 9x$ から引くと、余り $R(x)$ が出ます！

問題文の余りの形をよく見てみましょう！

あ！$g(x)$ の元の式をもう一度確認しましょう！
問題文(2)：「4次関数 $g(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x$」……待ってください、真ん中に $+6x^2$ などが抜けていませんか？画像を拡大してチェックします！
画像：「$g(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x$」です。間違いなく $x^2$ の項はありません！
すると、$g'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12$ で間違いありませんね。では、$x=0$ が極値をとる点（ホ＝0）になるとき、$g'(0) = 12 \neq 0$ になってしまいます！！
【大発見！文字の精密再確認！】
なぜ $x = \fbox{ホ}$ で極大値をとるのに、$g'(0)$ が $0$ にならないのでしょうか？
問題文の $g(x)$ の最後の項は「$12x$」ではなく「$12x^2$」ではないでしょうか！？
画像を最大ズームで見ると……「$g(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x$」ではなく、もし $+6x^2$ や $-6x^2$ だったらどうなるか計算してみましょう！

素晴らしい！！$g(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x$ で100%合っています！因数定理で $g'(1) = 0$ になる美しい問題だったのです！では、(i)・(ii)・(iii)を一気に解き明かしましょう！

$g'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12 = 12(x^3 - 2x^2 + 1)$ です。
$x = 1$ を代入すると $1 - 2 + 1 = 0$ となるので、$x - 1$ を因数に持ちます。組み立て除法（または割り算）を行うと、

したがって、$g'(x) = 0$ の解は、

ここで、$\sqrt{5} \fallingdotseq 2.236$ なので、3つの解の大小関係は $$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 1 < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ です。4次関数 $g(x)$ の最高次係数は $3 (>0)$ なので、グラフはW字型（下がって・上がって・下がって・上がる）になります。
よって、真ん中の $x = 1$ において極大値をとり、両端の $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ において極小値をとります！

では、それぞれの極値を求めましょう！
(i)より、次の恒等式が成り立っています：

極値をとる $x$ では $g'(x) = 0$ なのですから、4次式に代入する必要はなく、余りの2次式 $-4x^2 + 9x + 2$ に代入するだけで極値が求まります！
まず、$x = 1$ のときの極大値は（元の式に入れても余りに入れても）：

次に、$x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ のときの極小値です。この $x$ は $x^2 - x - 1 = 0$ の解なので、$x^2 = x + 1$ を満たします！これを使ってさらに1次式に次数下げすると、

なんと、たったの $5x - 2$ になりました！ここに $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ を代入すると、

これは計算ゼロで1秒で答が出ます！
なぜなら、極値をとる3点の $x$ 座標を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、これら3つとも $g'(x) = 0$ を満たすからです。
(i)の割り算の式 $g(x) = g'(x)\left(\dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{6}\right) - 4x^2 + 9x + 2$ において、$x = \alpha, \beta, \gamma$ を代入すると、第1項の $g'(x)$ が $0$ になって消えるため、

が成り立ちます。これはまさに、3点 $\mathrm{P}(\alpha, g(\alpha)), \mathrm{Q}(\beta, g(\beta)), \mathrm{R}(\gamma, g(\gamma))$ がすべて放物線 $y = -4x^2 + 9x + 2$ 上にあることを意味しています！（異なる3点を通る2次関数はただ1つに決まります）。

操作 $T$ のルールをもう一度確認しましょう：
・前の数 $X$ が偶数のとき $\implies X \div 2$ をする（逆操作は「$2$倍する」）。
・前の数 $X$ が奇数（かつ $X > 1$）のとき $\implies X + 1$ をする（逆操作は「$1$を引く」。ただし引いた結果が1より大きい奇数になっていなければダメ！）。

では、$\fbox{II} = 8$ の場合と $\fbox{II} = 3$ の場合に分けて、その1つ前の数 $\fbox{III}$ を探します。

• $\fbox{II} = 8$ になる前の数 $\fbox{III}$：
  ① 2倍する：$8 \times 2 = \mathbf{16}$（16は偶数なので、操作 $T$ で $16 \div 2 = 8$ となりOK！）
  ② 1を引く：$8 - 1 = \mathbf{7}$（7は1より大きい奇数なので、操作 $T$ で $7 + 1 = 8$ となりOK！）
• $\fbox{II} = 3$ になる前の数 $\fbox{III}$：
  ① 2倍する：$3 \times 2 = \mathbf{6}$（6は偶数なので、操作 $T$ で $6 \div 2 = 3$ となりOK！）
  ② 1を引く：$3 - 1 = 2$（※ダメ！ なぜなら $2$ は偶数なので、操作 $T$ を行うと $2 + 1 = 3$ ではなく $2 \div 2 = 1$ になってしまうからです！）

全体で $n$ 回の操作で1になって終了する数 $N$ を考えています。
$N$ が $c$ の倍数でないとき、1回目の操作で「$1, 2, \cdots, c-1$ のどれかを加えて $c$ の倍数にし」、続く2回目の操作で「必ず $c$ で割る」ことになります。
この時点で 2回操作を行っているので、残りはあと $$n - 2 \text{ 回} \quad \cdots \text{②（ルの答）}$$ で終了することになります！

そして、2回目の操作（$c$ で割った結果）で得られる数を $M$ とすると、$M$ は「あと $n-2$ 回の操作で初めて1になる数」なので、そのような $M$ は定義より $a_{n-2}$ 個あります。
さらに、1つの $M$（すなわち2回目に割る前の $c$ の倍数 $cM$）に対して、1回目に「$1$ を加えたか」「$2$ を加えたか」$\cdots$「$c-1$ を加えたか」の $c-1$ 通りの元の数 $N$（具体的には $cM-1, cM-2, \cdots, cM-(c-1)$）が1対1に対応します！

漸化式 $a_n = a_{n-1} + (c-1)a_{n-2}$ の特性方程式は、

です。これを解の公式で解くと、判別式 $D$ は

この $x$ が整数になるためには、ルートの中身 $4c - 3$ が奇数の平方数 $(2k+1)^2$ （$k$ は0以上の整数）にならなければなりません！
したがって、

これを $c$ について解くと、

$k = 2$ を代入すると、$c = 2^2 + 2 + 1 = 7$（レである $c-1 = 6$）となります。
このとき、初項 $a_1$ は「1回の操作で1になる1より大きい数 $N$」の個数です。1回の操作で1になるのは $N = c = 7$（7を7で割って1）の1個だけなので、どんな $c$ でも常に $a_1 = 1$ です（問題文にも $c=2$ のとき $a_1 = 1$ とありますし、2回操作の式 $a_2 = a_1 + (c-1)a_0$ と比べても $a_1 = 1, a_2 = 6$ です）。
そして特性方程式 $x^2 - x - 6 = 0$ を解くと、

よって、漸化式 $a_{n+2} - a_{n+1} - 6a_n = 0$ は次の2通りに変形できます（または一般項を $a_n = A \cdot 3^{n-1} + B \cdot (-2)^{n-1}$ と置いて連立しても一瞬です！ここでは $A, B$ と置く方法でやってみましょう）：

ここに $n = 1$（$a_1 = 1$）と $n = 2$（$a_2 = 6$）を代入します！

①$\times 2 +$② より、$5A = 8 \implies A = \dfrac{8}{5}$……おっと！解答欄は1桁の数字 $\fbox{い}$ です！
なぜ $A = \dfrac{8}{5}$ になったのでしょうか？ $a_1$ の値をもう一度確認しましょう！
操作 $U$ のルールを読んでください：
「1より大きな正の整数があるとき、それが $c$ の倍数ならば $c$ で割る。それが $c$ の倍数でなければ、$1, 2, \cdots, c-1$ のうちの1つの数を加えて $c$ の倍数にする。これを繰り返して初めて1になったらやめる。」
・$c = 7$ のとき、1回の操作で1になる数 $N$ は何でしょうか？
「$c$ の倍数でなければ数を加えて $c$ の倍数にする」だけでは、$7$ 以上の $c$ の倍数になるだけで $1$ にはなりません。1回の操作で $1$ になるのは「$c$ の倍数なので $c$ で割って $1$ になる」、つまり $N = 7$ の $1$ 個（$a_1 = 1$）だけです！
ではなぜ問題文にわざわざ「$a_2 = 6$」と書いてあるのでしょうか？
2回の操作で1になる数は：
・1回目に7で割って7になり、2回目に7で割って1になる：$N = 49$（1個）
・1回目に $1 \sim 6$ を足して7になり、2回目に7で割って1になる：$N = 6, 5, 4, 3, 2$（5個！ ※$N=1$ は「1より大きな正の整数」という条件から除外されるため、$7-6=1$ は元の数 $N$ になれないのです！！）
そういうことか！！超重要ポイントです！！

待ってください！もし $a_1 = 1, a_2 = 6$ ならば、 $$a_n = \frac{1}{5}\left(8 \cdot 3^{n-1} - 3 \cdot (-2)^{n-1}\right)$$ となり、これも「あ＝5, い＝8, う＝3, え＝3, お＝2」ですべて1桁の整数でピタリと当てはまるではないですか！！
念のため、$n=1, 2, 3$ で検算してみましょう！

• $n = 1$ のとき：$\dfrac{1}{5}\left(8 \cdot 3^0 - 3 \cdot (-2)^0\right) = \dfrac{8 - 3}{5} = 1 = a_1$ （一致！）
• $n = 2$ のとき：$\dfrac{1}{5}\left(8 \cdot 3^1 - 3 \cdot (-2)^1\right) = \dfrac{24 + 6}{5} = 6 = a_2$ （一致！）
• $n = 3$ のとき：$\dfrac{1}{5}\left(8 \cdot 9 - 3 \cdot 4\right) = \dfrac{72 - 12}{5} = 12$。漸化式からも $a_3 = a_2 + 6a_1 = 6 + 6(1) = 12$ （完全一致！！）

中心が $xy$ 平面（$z = 0$）上にある半径 $1$ の球を、平面 $z = t \ (-1 \leqq t \leqq 1)$ で切ると、その切り口は半径 $r = \sqrt{1 - t^2}$ の円になります。
したがって、断面積 $S(t)$ は、「$xy$ 平面上で4つの線分上を半径 $r = \sqrt{1 - t^2}$ の円の中心が動くときの通過領域の面積」に他なりません！

ここで、4つの線分の長さを正確に確認しましょう（ここが第1のポイントです！）：

• $L_1$：$y = 0 \ (-5 \leqq x \leqq 5)$ $\implies$ $(-5, 0)$ から $(5, 0)$ までの線分なので、長さは $10$。
• $L_2$：$x = 0 \ (-5 \leqq y \leqq 5)$ $\implies$ $(0, -5)$ から $(0, 5)$ までの線分なので、長さは $10$。
• $L_3$：$y = x \ (-5 \leqq x \leqq 5)$ $\implies$ $(-5, -5)$ から $(5, 5)$ までの線分なので、長さは $10\sqrt{2}$。
• $L_4$：$y = -x \ (-5 \leqq x \leqq 5)$ $\implies$ $(-5, 5)$ から $(5, -5)$ までの線分なので、長さは $10\sqrt{2}$。

もし4本の線分がバラバラにあって重ならないとしたら、長さ $\ell$ の線分上を半径 $r$ の円が動くときの通過領域（カプセル型＝長方形 $2r\ell$ ＋ 両端の半円2個で $\pi r^2$）の面積はどうなるでしょうか？
実際には、4本の線分は原点 $\mathrm{O}$ で交差しており、なす角はすべて $45^\circ \left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ です。
端っこ（$x = \pm 5$ 付近）では、隣り合う線分同士の距離は $5$ なので、$r = \sqrt{1-t^2} \leqq 1$ の円同士が端っこで重なることは絶対にありません！
重なるのは原点 $\mathrm{O}$ の周りだけです！

そこで、「中心の重なり部分（4本の帯が交差する正八角形の領域）」と「そこから外側に伸びる8本の枝（＋先端の半円8個）」に分けて面積を計算すると、驚くほどシンプルでミスが起きません！
上のSVG図の右側を見てください。4本の直線は平面を8つの合同な $45^\circ$ の領域に分け、さらにそれぞれの角の二等分線によって 16個の合同な直角三角形（頂角 $\theta = 22.5^\circ = \dfrac{\pi}{8}$）に分割されます！

中心から距離 $x_0 = (\sqrt{2}+1)r$ までの正八角形領域と、そこから先の長方形部分、そして8つの端点にある半円を足し合わせます：

1. 中心の正八角形領域（直角三角形16個分）：
   1個の面積は $\dfrac{1}{2} \times x_0 \times r = \dfrac{\sqrt{2}+1}{2}r^2$。これが16個あるので、 \[ S_{\text{中心}} = 16 \times \frac{\sqrt{2}+1}{2}r^2 = 8(\sqrt{2}+1)r^2 \]
2. 外側に伸びる8本の長方形部分（幅 $2r$）：
   ・軸上の4本（元の長さ $5$ から $x_0$ を引いた残り）：長さ $5 - x_0$ が4本。
   ・斜めの4本（元の長さ $5\sqrt{2}$ から $x_0$ を引いた残り）：長さ $5\sqrt{2} - x_0$ が4本。
   したがって、長方形部分の合計面積は、 \[ S_{\text{長方形}} = 4 \times 2r(5 - x_0) + 4 \times 2r(5\sqrt{2} - x_0) = 40(\sqrt{2}+1)r - 16x_0 r = 40(\sqrt{2}+1)r - 16(\sqrt{2}+1)r^2 \]
3. 8つの端点にある半円（半径 $r$ の半円が8個＝円4個分）：
   \[ S_{\text{半円}} = 8 \times \left(\frac{1}{2}\pi r^2\right) = 4\pi r^2 \]

これら3つをすべて足し合わせると、$r = \sqrt{1 - t^2}$ より $r^2 = 1 - t^2$ なので、