産業医科大学 医学部 数学（2022年度）全問題・超図解解説

① 点 $\text{P}$ の座標【 セ 】：
点 $\text{P}$ は点 $\text{F}(f, 0)$ を中心とする半径 $a$ の円 $\text{C}_1$ 上にあり、偏角が $\theta_1$ なので、ベクトル $\overrightarrow{\text{OP}} = \overrightarrow{\text{OF}} + \overrightarrow{\text{FP}}$ より、

② 点 $\text{S}$ の座標【 ソ 】：
点 $\text{S}$ は点 $\text{P}$ を中心とする半径 $b$ の円 $\text{C}_2$ 上にあり、偏角が $\theta_2$ なので、$\overrightarrow{\text{OS}} = \overrightarrow{\text{OP}} + \overrightarrow{\text{PS}}$ より、

③ 角度 $\theta_1$ の式【 タ 】：
点 $\text{P}$ が周期 $1$ で等速円運動するとき、媒介変数 $t$ が $1$ 増えるごとに角度 $\theta_1$ は $2\pi$ 増加します（初期位相 $\alpha_1$）。したがって、

① 距離 $A = \text{OP}$ の最大値・最小値と $a, f, \alpha_1$ の特定【 チ 】：
原点 $\text{O}(0,0)$、中心 $\text{F}(f,0)$（$f>0$）、半径 $a>0$ の円周上の点 $\text{P}$ について、三角不等式（あるいは余弦定理 $A^2 = f^2 + a^2 + 2af\cos\theta_1$）より、

• $\theta_1 \equiv 0 \pmod{2\pi}$ のとき最大値：$A_{\max} = f + a$
• $\theta_1 \equiv \pi \pmod{2\pi}$ のとき最小値：$A_{\min} = |f - a|$

図2の実線（距離 $A$）を読み取ると、$t=0$ で最大値 $A=7$、$t=0.5$ で最小値 $A=3$ をとっています。
$t=0$ で最大値をとることから $\theta_1(0) = \alpha_1 = 0$（$0 \le \alpha_1 < 2\pi$ より）と決まります。
また、$f + a = 7$、$|f - a| = 3$ より、$\{f, a\} = \{5, 2\}$ です。選択肢を見ると $a=2, f=5, \alpha_1=0$ の組み合わせが存在するため、これに確定します。

② 距離 $B = \text{OS}$ の最大値・最小値と $b, \alpha_2$ の特定【 ツ 】：
点 $\text{S}$ は点 $\text{P}$ から距離 $b$ にあるため、三角不等式より常に $$A - b \le B \le A + b$$ が成り立ちます。特に、

• $B = A + b$ となるのは、$\text{O}, \text{P}, \text{S}$ がこの順に一直線上に並ぶとき
• $B = A - b$ となるのは、$\text{O}, \text{S}, \text{P}$ がこの順に一直線上に並ぶとき

図2の破線（距離 $B$）を読み取ると、

• $t=0$ のとき：$A=7$（$\text{P}(7,0)$）に対し、$B=6$ です。
• $t=1$ のとき：$A=7$（$\text{P}(7,0)$）に対し、$B=8$（全体の最大値）をとっています。

$B$ の最大値が $A_{\max} + b = 7 + b = 8$ であることから、$b = 1$ とわかります。
また、$t=0$ のとき $\text{P}(7,0)$ で $B = 7 - 1 = 6$ となっているため、$t=0$ において点 $\text{S}$ は $(6,0)$、すなわち点 $\text{P}$ から見て左向き（偏角 $\pi$）の位置にあります。
よって $\theta_2(0) = \alpha_2 = \pi$ となります。

③ 周期 $T$ の特定【 テ 】：
上記より $\theta_2(t) = \dfrac{2\pi}{T}t + \pi$ です。図2より、$t=1$ のとき $\text{P}(7,0)$ かつ $B=8$（$\text{S}(8,0)$）なので、$\theta_2(1)$ は $2\pi$ の整数倍でなければなりません。 $$\theta_2(1) = \frac{2\pi}{T} + \pi = 2k\pi \quad (k \text{ は正の整数}) \implies \frac{2}{T} = 2k - 1 \implies T = \frac{2}{2k-1}$$ さらに図2より、$t=0.5$ のとき $\text{P}(3,0)$（$A=3$）であり、この瞬間 $B=3$ となっています。$\text{P}(3,0)$ を中心とする半径 $1$ の円周上で原点からの距離が $3$ になるのは $x \neq 3$ の点ですが、グラフを見ると $t=0.45$ 付近で極小値 $B \approx 2$（$= A - b$）をとっています。もし $k=2$（$T = \frac{2}{3} \approx 0.67$）ならば、$t=0$ から $t=1$ の間に $B$ は $1.5$ 周期分振動することになり、図2の波形と完全に一致します（選択肢の中で $T = \frac{2}{2k-1}$ を満たす $1$ 以外の値は $\frac{2}{3}$ のみです）。

後半では $f=0, a=2, b=1, \alpha_1=0, \alpha_2=0, T=\dfrac{2}{5}$ と設定されるため、 $$\theta_1 = 2\pi t, \quad \theta_2 = \frac{2\pi}{2/5}t = 5\pi t$$ となり、点 $\text{S}(x, y)$ の座標は次式で表されます。 $$\begin{cases} x(t) = 2\cos(2\pi t) + \cos(5\pi t) \\ y(t) = 2\sin(2\pi t) + \sin(5\pi t) \end{cases}$$

① 全体の周期 $t_1$【 ト 】：
$\theta_1 = 2\pi t$ の周期は $1$、$\theta_2 = 5\pi t$ の周期は $\dfrac{2\pi}{5\pi} = \dfrac{2}{5}$ です。
$t$ が $t_1$ 増加したとき、両方の角度が $2\pi$ の整数倍だけ増加すれば元の位置に戻るため、 $$2\pi t_1 = 2m\pi \implies t_1 = m, \qquad 5\pi t_1 = 2n\pi \implies t_1 = \frac{2}{5}n \quad (m, n \in \mathbb{N})$$ これを満たす最小の正の数 $t_1$ は、$m=2, n=5$ のとき $t_1 = 2$ です。

② 曲線の対称性【 ナ 】：
$t$ を $-t$ に置き換えると（あるいは $2-t$ に置き換えると）、 $$\begin{cases} x(-t) = 2\cos(-2\pi t) + \cos(-5\pi t) = x(t) \\ y(-t) = 2\sin(-2\pi t) + \sin(-5\pi t) = -y(t) \end{cases}$$ が成り立つため、曲線 $S$ は $x$ 軸に関して対称です。
一方、$t = \dfrac{1}{2}$ のとき $(x, y) = (-2, 1)$ ですが、$(2, 1)$ となるような実数 $t$ は存在しない（$\cos(2\pi t)=1 \implies t \in \mathbb{Z} \implies \sin(5\pi t)=0 \implies y=0 \neq 1$）ため、$y$ 軸対称でも原点対称でもありません。

$1$ 周期である $0 \le t < 2$ の範囲で考えます（この範囲で自己交差を除き点 $\text{S}$ は曲線を一巡します）。

① $x$ 軸との交点（$y = 0$ となる点）【 ニ 】【 ヌ 】：
$t=0$ のとき：$(x(0), y(0)) = (2+1, 0) = (3, 0)$
$t=1$ のとき：$(x(1), y(1)) = (2\cos 2\pi + \cos 5\pi, 0) = (2-1, 0) = (1, 0)$
よって、$t=0, 1$ に対応する交点は $(3,0)$ と $(1,0)$ の $2$ 個です。
次に、$0 < t < 1$ における $y(t) = 2\sin(2\pi t) + \sin(5\pi t) = 0$ の解の個数を調べます（対称性より $1 < t < 2$ にも同数の解があり、$x(-t)=x(t)$ より対応する交点の $x$ 座標は一致します）。
$\sin(5\pi t) = -2\sin(2\pi t)$ について、$0 < t < 1$ を区切って符号と増減を調べると、

• $0 < t \le \dfrac{2}{5}$ のとき：$2\sin(2\pi t) > 0$。また $0 < t \le \dfrac{1}{5}$ では $\sin(5\pi t) \ge 0$ なので解なし。$\dfrac{1}{5} < t \le \dfrac{2}{5}$ でも、$2\sin(2\pi t) \ge 2\sin\dfrac{4\pi}{5} = 2\sin\dfrac{\pi}{5} > 2 \times \dfrac{1}{2} = 1 \ge |\sin(5\pi t)|$ より解なし。
• $\dfrac{2}{5} < t < \dfrac{1}{2}$ のとき：$t=\dfrac{2}{5}$ で $y = 2\sin\dfrac{4\pi}{5} + 0 > 0$、$t=\dfrac{1}{2}$ で $y = 0 + \sin\dfrac{5\pi}{2} = 1 > 0$。この区間で $\sin(5\pi t) > 0$ かつ $\sin(2\pi t) > 0$ なので $y(t) > 0$ となり解なし。
• $\dfrac{1}{2} < t < \dfrac{3}{5}$ のとき：$t=\dfrac{1}{2}$ で $y = 1 > 0$、$t=\dfrac{3}{5}$ で $y = 2\sin\dfrac{6\pi}{5} + 0 = -2\sin\dfrac{\pi}{5} < 0$。この区間で $2\sin(2\pi t)$ も $\sin(5\pi t)$ も単調減少するため、ただ $1$ つの解 $t = \beta_1$ を持ちます。
• $\dfrac{3}{5} \le t < 1$ のとき：$\sin(2\pi t) < 0$。特に $\dfrac{3}{5} \le t \le \dfrac{4}{5}$ では $\sin(5\pi t) \le 0$ なので $y < 0$。$\dfrac{4}{5} < t < 1$ では $y'(t) = 4\pi\cos(2\pi t) + 5\pi\cos(5\pi t)$ について、$\cos(2\pi t)$ は $\cos\dfrac{8\pi}{5}$ から $1$ へ増加し、詳細な評価（または微分の符号変化が $1$ 回のみで $y(1)=0$ に収束すること）より、$y(t) < 0$ のまま $t=1$ に至ります（具体的には $t \to 1-0$ で $y(t) \approx -4\pi(1-t) - 5\pi(1-t) = -9\pi(1-t) < 0$ であり、途中 $t=0.8$ で $y=-2\sin\frac{2\pi}{5} \approx -1.90$、$t=0.9$ で $y=-2\sin\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{2} = -2(0.588)+1 = -0.176 < 0$ となり、常に $y<0$）。

したがって、$0 < t < 1$ での解は $t = \beta_1 \in (0.5, 0.6)$ の $1$ 個のみです。
対称性より $1 < t < 2$ にも $t = 2 - \beta_1$ という解が $1$ 個あり、この $2$ つの $t$ は曲線 $S$ の同じ自己交差部分（同じ $x$ 座標：$x(\beta_1) = x(2-\beta_1)$）を通ります。
以上より、$t=0, 1$ 以外の実数で $y=0$ となる $t$（$0 < t < 2$）は $2$ 個【 ニ 】あり、曲線 $S$ と $x$ 軸との共有点（点としての個数）は $(3,0), (1,0), (x(\beta_1), 0)$ の $3$ 個【 ヌ 】です。

② $y$ 軸との交点（$x = 0$ となる点）【 ネ 】：
$x(t) = 2\cos(2\pi t) + \cos(5\pi t) = 0$ を $0 \le t \le 1$ で考えます。
$|2\cos(2\pi t)| = |\cos(5\pi t)| \le 1$ より、$|\cos(2\pi t)| \le \dfrac{1}{2}$ が必要です。
$0 \le t \le 1$ において $|\cos(2\pi t)| \le \dfrac{1}{2}$ となるのは、次の $2$ つの区間のみです。

• 区間 $I_1 = \left[\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{3}\right]$：
  $t=\dfrac{1}{6}$ のとき $x = 2\left(\dfrac{1}{2}\right) + \cos\dfrac{5\pi}{6} = 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2} > 0$。
  $t=\dfrac{1}{3}$ のとき $x = 2\left(-\dfrac{1}{2}\right) + \cos\dfrac{5\pi}{3} = -1 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} < 0$。
  この区間では $2\pi t \in \left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}\right]$ で $\cos(2\pi t)$ は単調減少、また $5\pi t \in \left[\dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{3}\right]$ であり、中間値の定理と単調性から解がちょうど $1$ 個存在します（$t=0.25$ のとき $x = 0 + \cos(1.25\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$ なので解は $\frac{1}{6} < t < \frac{1}{4}$ に $1$ 個）。
• 区間 $I_2 = \left[\dfrac{2}{3}, \dfrac{5}{6}\right]$：
  $t=\dfrac{2}{3}$ のとき $x = -1 + \cos\dfrac{10\pi}{3} = -1 - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2} < 0$。
  $t=\dfrac{5}{6}$ のとき $x = 1 + \cos\dfrac{25\pi}{6} = 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} > 0$。
  この区間では $2\pi t \in \left[\dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}\right]$（$\sin(2\pi t) < 0$）、$5\pi t \in \left[\dfrac{10\pi}{3}, \dfrac{25\pi}{6}\right] = \left[2\pi + \dfrac{4\pi}{3}, 4\pi + \dfrac{\pi}{6}\right]$ であり、$x'(t) = -4\pi\sin(2\pi t) - 5\pi\sin(5\pi t)$ を調べると、区間 $I_2$ の大部分で $x$ は単調増加し、解がちょうど $1$ 個存在します。

よって $0 < t < 1$ に解が $2$ 個存在し、対称性から $1 < t < 2$ にも解が $2$ 個存在します（これら $4$ つの解に対する $y$ 座標はすべて異なります）。したがって、曲線 $S$ と $y$ 軸との共有点は $4$ 個です。

これまでに得られた曲線 $S$ の特徴を整理します。

• 対称性【 ナ 】：$x$ 軸対称であるが、$y$ 軸対称ではない。
• $x$ 軸との共有点【 ヌ 】：ちょうど $3$ 個（$x = 3, 1$ および負の領域に $1$ 個）。
• $y$ 軸との共有点【 ネ 】：ちょうど $4$ 個。

選択肢 ⓪〜⑤ のうち、

• ①, ③, ⑤ は上下非対称（または左右対称）であるため除外されます。
• 残る $x$ 軸対称なグラフ ⓪, ②, ④ の中で、$x$ 軸との交点が $3$ 個、$y$ 軸との交点が $4$ 個（かつ右端が $(3,0)$、内側のループが $(1,0)$ を通る外トロコイド曲線）になっているのは ② です。