愛知医科大学 医学部 物理（2024年度）全問題・超図解解説

問1 すべり始める直前の限界角 $\theta_1$ と $\tan\theta_1$

【Step 1：小物体にはたらく力を整理する】
ベルトが静止しているとき、斜面上の質量 $m$ の小物体にはたらく力は以下の3つです。

• 重力 $mg$：これを斜面に平行な成分（斜面下向き）$mg\sin\theta$ と、斜面に垂直な成分 $mg\cos\theta$ に分解します。
• 斜面からの垂直抗力 $N$（斜面に垂直上向き）
• 静止摩擦力 $f$（すべり落ちようとするのを妨げるため、斜面に沿って上向き）

【Step 2：すべり始める直前（$\theta = \theta_1$）の力のつりあい】
傾斜角が $\theta_1$ のとき、静止摩擦力 $f$ が最大摩擦力 $f_{\text{max}} = \mu N$ に達します。
斜面に垂直な方向の力のつりあいより、 $$N = mg\cos\theta_1 \quad \cdots \text{①}$$ 斜面に平行な方向のすべり始める直前の力のつりあいより、 $$mg\sin\theta_1 = \mu N \quad \cdots \text{②}$$ ①を②に代入します。 $$mg\sin\theta_1 = \mu mg\cos\theta_1$$ 両辺を $mg\cos\theta_1$（$\neq 0$）で割ると、$\dfrac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1} = \tan\theta_1$ より、 $$\tan\theta_1 = \mu$$

問2 傾斜角 $\theta_1$ ですべり下りるときの加速度の大きさ

【Step 1：動摩擦力の大きさを求める】
小物体がすべり始めた後は、小物体とベルトの間には動摩擦力 $f'$ が斜面に沿って上向きにはたらきます。
問題文より、動摩擦係数は $\mu' = \dfrac{\mu}{3}$ です。したがって、動摩擦力の大きさ $f'$ は、 $$f' = \frac{\mu}{3} N = \frac{\mu}{3} mg\cos\theta_1$$

【Step 2：運動方程式を立てて $\mu$ を消去する】
斜面に沿って下向きを正として、小物体の加速度の大きさを $a_1$ とすると、運動方程式は、 $$ma_1 = mg\sin\theta_1 - \frac{\mu}{3} mg\cos\theta_1$$ 両辺を $m$ で割ります。 $$a_1 = g\sin\theta_1 - \frac{\mu}{3} g\cos\theta_1 \quad \cdots \text{③}$$ ここで、問2の問題文には「$g, \theta_1$ を用いて表せ」とあり、$\mu$ は使えません！
そこで、問1で求めた $\mu = \tan\theta_1 = \dfrac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1}$ を③に代入します。 $$a_1 = g\sin\theta_1 - \frac{1}{3} \left(\frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1}\right) g\cos\theta_1 = g\sin\theta_1 - \frac{1}{3}g\sin\theta_1 = \frac{2}{3}g\sin\theta_1$$

問3 ベルトが回転しているのに小物体が静止し続ける傾斜角 $\theta_2$

【Step 1：ベルトの回転方向と動摩擦力の向きを確認する】
図1のベルトを「反時計回り」に速さ $v_0$ で回転させると、ベルトの上面（斜面）は斜面に沿って上向きに速さ $v_0$ で移動しています。
このベルトの上に小物体を初速 $0$ で置くと、小物体は静止したままですが、ベルトの上面に対して小物体は相対的に斜面下向きにすべっている状態です（つまりベルトと小物体の間ですべりが生じています！）。
したがって、小物体にはベルトの移動方向と同じ斜面に沿って上向きに動摩擦力 $f'$ がはたらきます。 $$f' = \frac{\mu}{3} N = \frac{\mu}{3} mg\cos\theta_2$$

【Step 2：静止し続けるための力のつりあい】
水平面上にいる静止した観測者から見て「小物体が初速 $0$ のまま静止し続けた」ということは、小物体にはたらく合力が $0$（力のつりあい）になっているということです。
斜面に平行な方向の力のつりあいより、 $$mg\sin\theta_2 = \frac{\mu}{3} mg\cos\theta_2$$ 両辺を $mg\cos\theta_2$ で割ると、 $$\tan\theta_2 = \frac{\mu}{3}$$

問4 ベルトの速さを $2v_0$ に変えたときの小物体の運動

【Step 1：動摩擦力は相対速度の大きさに依存するか？】
動摩擦力の公式 $f' = \mu' N = \dfrac{\mu}{3}mg\cos\theta_2$ を見てください。この式の中にベルトの速さ $v_0$ は一切入っていません！
つまり、ベルトの速さを $v_0$ から $2v_0$ に変えても、初速 $0$ で置いた瞬間、小物体にはたらく斜面上向きの動摩擦力の大きさは $\dfrac{\mu}{3}mg\cos\theta_2$ のままであり、斜面下向きの重力成分 $mg\sin\theta_2$ と完全に打ち消し合います（合力 $= 0$）。
初速が $0$ で合力がずっと $0$ ですから、小物体はそのまま静止し続けます。よって選択肢は (e) です。

問5 $\text{OP}$ 間の距離（符号に超注意！）

【Step 1：加速度 $a$ の符号を確認する】
斜面に沿って下向きに $x$ 軸の正の向きをとっています。時刻 $0$ に原点 $\text{O}$（$x=0$）から正の向きに初速度 $3v_0$（$>0$）ですべらせた小物体が、一定の加速度 $a$ で減速して点 $\text{P}$ で静止（$v=0$）したのですから、加速度 $a$ は負の値（$a < 0$）です！

【Step 2：等加速度直線運動の公式 $v^2 - v_{\text{初}}^2 = 2ax$ を使う】
$\text{OP}$ 間の距離を $L_{\text{OP}}$（$>0$）とすると、点 $\text{P}$ の $x$ 座標は $x = L_{\text{OP}}$ です。
原点 $\text{O}$（初速度 $3v_0$）から点 $\text{P}$（速度 $0$）までの等加速度運動の式より、 $$0^2 - (3v_0)^2 = 2a L_{\text{OP}}$$ $$-9v_0^2 = 2a L_{\text{OP}}$$ 両辺を $2a$ で割ると、 $$L_{\text{OP}} = -\frac{9v_0^2}{2a}$$ ※チェック：$a < 0$ なので、$-\dfrac{9v_0^2}{2a} > 0$ となり、確かに正の距離を表しています！

問6 ベルトに対する相対速度が初めて $0$ になる時刻 $t_1$

【Step 1：時刻 $t_1$ における小物体の速度を求める】
ベルトの上面は斜面に沿って上向き（$x$ 軸の負の向き）に速さ $v_0$ で動いているため、ベルトの上面の速度は$-v_0$です。
「ベルトの上面に対する小物体の相対速度が $0$ になる」とは、小物体の速度 $v(t_1)$ がベルトの上面の速度と一致して $v(t_1) = -v_0$ になるということです。
（しかも時刻 $0$ から時刻 $t_1$ までの間は、常に小物体の速度 $v(t) > -v_0$ であるため、ベルトに対する相対速度は常に正（斜面下向き）であり、動摩擦力は常に斜面上向き（負の向き）で一定、つまり加速度は時刻 $t_1$ までずっと同じ $a$ のままです！）

【Step 2：速度の公式 $v = v_{\text{初}} + at$ に代入する】
初速度 $3v_0$、加速度 $a$ で、時刻 $t_1$ に速度が $-v_0$ になるので、 $$-v_0 = 3v_0 + a t_1$$ 移項して整理すると、 $$a t_1 = -4v_0 \quad \Longleftrightarrow \quad t_1 = -\frac{4v_0}{a}$$ ※チェック：$a < 0$ なので、$t_1 = -\dfrac{4v_0}{a} > 0$ となり、正の時刻です！

問7 時刻 $t_1$ のときの小物体の高さ $-h_1$

【Step 1：時刻 $t_1$ における $x$ 座標 $x_1$ を求める】
等加速度直線運動の公式 $v^2 - v_{\text{初}}^2 = 2ax$ を、時刻 $0$（$x=0$, 速度 $3v_0$）から時刻 $t_1$（$x=x_1$, 速度 $-v_0$）までの区間に適用します。 $$(-v_0)^2 - (3v_0)^2 = 2a x_1$$ $$v_0^2 - 9v_0^2 = 2a x_1 \quad \Longleftrightarrow \quad -8v_0^2 = 2a x_1 \quad \Longleftrightarrow \quad x_1 = -\frac{8v_0^2}{2a}$$ （または上の【図解2-B】の $v$-$t$ グラフの三角形の面積比から、点 $\text{P}$ までの変位 $L_{\text{OP}}$ を $3^2 = 9$ とすると、点 $\text{P}$ から折り返して戻る距離が $1^2 = 1$ なので、$x_1 = \dfrac{9-1}{9}L_{\text{OP}} = \dfrac{8}{9}L_{\text{OP}}$ と1秒で分かります！）

【Step 2：$x$ 座標の比と高さの比を結びつける】
問5より $L_{\text{OP}} = -\dfrac{9v_0^2}{2a}$ ですから、 $$\frac{x_1}{L_{\text{OP}}} = \frac{-\dfrac{8v_0^2}{2a}}{-\dfrac{9v_0^2}{2a}} = \frac{8}{9}$$ 斜面の傾斜角 $\theta_3$ は一定なので、原点 $\text{O}$ からの斜面上の位置 $x$ と高さの下がり具合は比例します（$h = L_{\text{OP}}\sin\theta_3$、$h_1 = x_1\sin\theta_3$）。
したがって、$h_1 = \dfrac{8}{9}h$ となり、求める高さ $-h_1$ は、 $$-h_1 = -\frac{8}{9}h$$ ※注意：問題文は「$h_1$ を求めよ」ではなく「高さ $-h_1$ を、$h$ を用いて表せ」なので、必ずマイナスをつけた $-\dfrac{8}{9}h$ と答えます！

問8 時刻 $0 \sim t_1$ の間に動摩擦力が小物体にした仕事

【Step 1：力学的エネルギーの変化と非保存力（動摩擦力）の仕事の関係を使う】
問題文で使える文字は「$m, v_0, g, h_1$」だけです（$\mu$ や $\theta_3$ や $a$ は使えません）。
こういうときは、「（後の力学的エネルギー）$-$（前の力学的エネルギー）$=$（非保存力がした仕事）」の公式が最強です！
小物体にはたらく力は「重力」「垂直抗力」「動摩擦力」の3つですが、垂直抗力は常に運動方向と垂直なので仕事は $0$ です。よって非保存力がする仕事は、動摩擦力がした仕事 $W$ だけになります。

【Step 2：時刻 $0$ と時刻 $t_1$ の力学的エネルギーを比較する】
原点 $\text{O}$ を重力による位置エネルギーの基準（高さ $0$）とします。

• 時刻 $0$（原点 $\text{O}$）： 速さは $3v_0$、高さは $0$ なので、力学的エネルギー $E_0$ は、 $$E_0 = \frac{1}{2}m(3v_0)^2 + mg\cdot 0 = \frac{9}{2}mv_0^2$$
• 時刻 $t_1$： 速さは $|-v_0| = v_0$、高さは $-h_1$ なので、力学的エネルギー $E_1$ は、 $$E_1 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mg(-h_1) = \frac{1}{2}mv_0^2 - mgh_1$$

したがって、時刻 $0 \sim t_1$ の間に動摩擦力が小物体にした仕事 $W$ は、 $$W = E_1 - E_0 = \left(\frac{1}{2}mv_0^2 - mgh_1\right) - \frac{9}{2}mv_0^2 = -4mv_0^2 - mgh_1$$

問9 傾斜角 $\theta_3$ と $\theta_1, \theta_2$ の大小関係

【Step 1：$\theta_1$ と $\theta_2$ の大小関係】
問1より $\tan\theta_1 = \mu$、問3より $\tan\theta_2 = \dfrac{\mu}{3}$ です。
$0 \leqq \theta < \dfrac{\pi}{2}$ において $\tan\theta$ は単調増加関数であり、$\dfrac{\mu}{3} < \mu$ なので、 $$\theta_2 < \theta_1 \quad \cdots \text{④}$$

【Step 2：$\theta_3$ のときの運動方程式から $\tan\theta_3$ の条件を求める】
傾斜角 $\theta_3$ のとき、小物体は $x$ 軸の正の向き（斜面下向き）に減速し、加速度 $a$ が負（$a < 0$）となりました。
小物体にはたらく $x$ 軸方向（斜面下向き正）の運動方程式を立てると、 $$ma = mg\sin\theta_3 - \frac{\mu}{3}mg\cos\theta_3$$ ここで $a < 0$ なのですから、右辺も負でなければなりません！ $$mg\sin\theta_3 - \frac{\mu}{3}mg\cos\theta_3 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \tan\theta_3 < \frac{\mu}{3}$$ 問3より $\tan\theta_2 = \dfrac{\mu}{3}$ ですから、 $$\tan\theta_3 < \tan\theta_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \theta_3 < \theta_2 \quad \cdots \text{⑤}$$ ④と⑤を合わせると、$\theta_3 < \theta_2 < \theta_1$ となるため、「$\theta_3 < \theta_1$ かつ $\theta_3 < \theta_2$」である選択肢 (a) が正解です！