岩手医科大学 医学部 物理（2024年度）全問題・超図解解説

STEP 1円柱A、B、Cそれぞれの高さを確認する

細い棒の質量は無視でき、円柱の太さも無視できるので、構造物Kの質量は頂点A、B、Cにある質量 $M$ の3つの円柱だけに存在します。
板の上面を高さ $y = 0$ の基準とすると、BとCは板の上面に接触しているため、

また、$\triangle\text{ABC}$ は一辺の長さ $l$ の正三角形なので、頂点Aの高さ $y_{\text{A}}$ は、底辺からの高さ $l\sin 60^\circ$ となります。

STEP 2重心の公式に代入する

質量 $M$ の3つの物体が高さ $y_{\text{A}}, y_{\text{B}}, y_{\text{C}}$ にあるとき、全体の重心Gの高さ $y_{\text{G}}$ は次の公式で求まります（または「正三角形の重心は高さを $2:1$ に内分する点だから、高さの $\dfrac{1}{3}$ 倍」と考えてもOKです！）。

したがって、正解は ② です。

STEP 1個別に足すか、重心にまとめて計算する

点Bからの水平距離（うでの長さ）を考えます。
・円柱Bには重力 $Mg$ が働きますが、回転軸Bそのものに働くので、うでの長さは $0$ です。
・円柱Aは、点Bから右へ $\dfrac{l}{2}$ の位置にあるので、重力 $Mg$ のうでの長さは $\dfrac{l}{2}$ です。
・円柱Cは、点Bから右へ $l$ の位置にあるので、重力 $Mg$ のうでの長さは $l$ です。

STEP 2力のモーメントの和を計算する

時計回りのモーメントの大きさを合計すると、

💡 【別解：重心Gを使うと1秒！】
構造物K全体の質量 $3M$ が、点Bから水平距離 $\dfrac{l}{2}$ の重心Gに集まっていると考えれば、（全重力 $3Mg$）$\times$（うでの長さ $\dfrac{l}{2}$）$= \dfrac{3}{2}Mgl$ と一瞬で求まります！

したがって、正解は ③ です。

STEP 1Cが浮き上がる直前の条件を確認する

$F = F_0$ となってCが板から浮き上がる直前、Cが板から受ける垂直抗力は $0$ になります。また、板とCの間はなめらかなので摩擦力も $0$ です。つまり、点Cには板から一切の力が働きません。

STEP 2点Bのまわりの力のモーメントのつりあいを立てる

点Bには板から垂直抗力と静止摩擦力が働きますが、点Bを回転軸にとれば、Bに働く力のモーメントはすべて $0$ になります。
・Aを水平左向きに押す力 $F_0$ は、点Bのまわりで構造物Kを反時計回りに回そうとします。作用線の板からの高さはAの高さ $y_{\text{A}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}l$ なので、うでの長さは $\dfrac{\sqrt{3}}{2}l$ です。
・一方、A、B、Cの重力は、問2で求めた通り、点Bのまわりで時計回りに大きさ $\dfrac{3}{2}Mgl$ のモーメントを作ります。

両辺を $\dfrac{\sqrt{3}}{2}l$ で割ると、

したがって、正解は ④ です。

STEP 1全重力 $3Mg$ を重心Gにおいて「板に垂直な方向」と「板に平行な方向」に分解する

構造物K全体（合計質量 $3M$）の重心Gの位置を、点Bを原点として板に沿う方向（BC方向）と板に垂直な方向で表すと、

重心Gに働く全重力 $3Mg$ を分解すると、
・板に垂直な下向き成分： $3Mg \cos\theta$ （点Bのまわりに時計回りのモーメントを作る。うでの長さは $x_{\text{G}} = \dfrac{l}{2}$）
・板に平行な左下向き成分： $3Mg \sin\theta$ （点Bのまわりに反時計回りのモーメントを作る。うでの長さは $y_{\text{G}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}l$）

STEP 2点Bのまわりの力のモーメントのつりあいを立てる

Cが板から受ける垂直抗力の大きさを $N_{\text{C}}$ とすると、$N_{\text{C}}$ は板に垂直な上向きに働き、点Bのまわりに反時計回りのモーメント（うでの長さ $l$）を作ります。
よって、点Bのまわりのモーメントのつりあいより、

両辺を $l$ で割り、$\dfrac{3\sqrt{3}}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ に注意して整理すると、

したがって、正解は ⑥ です。

STEP 1$\theta = \theta_0$ で $N_{\text{C}} = 0$ となる条件を解く

傾斜角が $\theta_0$ となってCが板から離れる瞬間、問4で求めた垂直抗力 $N_{\text{C}}$ が $0$ になります。

両辺を $\sqrt{3}\cos\theta_0$ で割ると、

💡 【幾何学的な意味】 重心Gが回転軸Bの真上にくるときに倒れ始めます。$\tan\theta_0 = \dfrac{x_{\text{G}}}{y_{\text{G}}} = \dfrac{l/2}{\sqrt{3}l/6} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$（つまり $\theta_0 = 60^\circ$）と図形的に求めることもできます！

したがって、正解は ⑥ です。

STEP 1板とともに加速する観測者から見た「慣性力」を考える

右向きに加速度 $\alpha$ で運動する板の上から見ると、構造物K（合計質量 $3M$）の重心Gには、加速度と逆向き（水平方向左向き）に大きさ $(3M)\alpha$ の慣性力が働きます。
・重心Gに働く全重力 $3Mg$（鉛直下向き）：点Bのまわりに時計回りのモーメントを作る（うでの長さ $x_{\text{G}} = \dfrac{l}{2}$）。
・重心Gに働く全慣性力 $3M\alpha$（水平左向き）：点Bのまわりに反時計回りのモーメントを作る（うでの長さ $y_{\text{G}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}l$）。
・点Cに働く垂直抗力 $N_{\text{C}}'$（鉛直上向き）：点Bのまわりに反時計回りのモーメントを作る（うでの長さ $l$）。

STEP 2点Bのまわりの力のモーメントのつりあいを立てる

両辺を $l$ で割り、整理すると、

したがって、正解は ① です。

STEP 1$\alpha = \alpha_0$ で $N_{\text{C}}' = 0$ とおく

問6で求めた式において $N_{\text{C}}' = 0$ とすると、

したがって、正解は ④ です。

STEP 1$\alpha = \alpha_0$ の瞬間に点Bに働く摩擦力 $f_{\text{B}}$ と垂直抗力 $N_{\text{B}}$ を求める

$\alpha$ が大きくなるほど必要な静止摩擦力は大きくなり、逆に点Bの垂直抗力はどうなるでしょうか？
構造物K全体（質量 $3M$）に対する力のつりあい（板の上から見た水平方向・鉛直方向のつりあい）を考えます。
・水平方向：点Cには摩擦がないため、水平方向の力は点Bが受ける右向きの静止摩擦力 $f_{\text{B}}$ と、左向きの全慣性力 $3M\alpha$ だけです。

・鉛直方向：$\alpha = \alpha_0 = \sqrt{3}g$ に達した瞬間、点Cの垂直抗力は $N_{\text{C}}' = 0$ なので、構造物全体の重力 $3Mg$ を点Bの垂直抗力 $N_{\text{B}}$ だけで支えています（なお $\alpha < \alpha_0$ のときは $N_{\text{B}} + N_{\text{C}}' = 3Mg$ です）。
加速度が最大の $\alpha = \alpha_0 = \sqrt{3}g$ のとき、

STEP 2滑らないための静止摩擦係数 $\mu$ の条件を求める

静止摩擦力 $f_{\text{B}}$ が最大静止摩擦力 $\mu N_{\text{B}}$ を超えない条件 $f_{\text{B}} \le \mu N_{\text{B}}$ より、

（問3の左向き外力 $F_0 = \sqrt{3}Mg$ のときは $f_{\text{B}} = \sqrt{3}Mg, N_{\text{B}} = 3Mg$ で $\mu \ge \dfrac{1}{\sqrt{3}}$、問5の傾斜角 $\theta_0 = 60^\circ$ のときは $\mu \ge \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ となり、いずれも最小境界値は $\mu_0 = \sqrt{3}$ となります。）

したがって、正解は ④ です。