東京医科大学 医学部 物理（2024年度）全問題・超図解解説

【Step 1：台Wに乗った観測者から見た小物体 $m$ のつりあいと運動方程式】
台Wは床に対して右向きに加速度 $A$ で動いています。したがって、台Wと一緒に動く観測者から見ると、小物体 $m$ には左向きに大きさ $mA$ の慣性力が働きます。
台から見ると、小物体は斜面に沿って左下向きにのみ滑り降りる（斜面から浮き上がったりめり込んだりしない）ので、斜面に垂直な方向の力はつりあっています。

力を「斜面に垂直な方向」と「斜面に平行な方向（左下向き正）」に分解しましょう：

• 重力 $mg$（鉛直下向き）の斜面に垂直な成分：$mg\cos\theta$（斜面を押す向き）
• 重力 $mg$ の斜面に平行な成分：$mg\sin\theta$（斜面に沿って左下向き）
• 慣性力 $mA$（水平左向き）の斜面に垂直な成分：$mA\sin\theta$（斜面から離れる向き）
• 慣性力 $mA$ の斜面に平行な成分：$mA\cos\theta$（斜面に沿って左下向き）

よって、小物体 $m$ の斜面に垂直な方向の力のつりあいより：

また、台から見た小物体の斜面に沿った左下向きの相対加速度の大きさを $a'$ とすると、斜面に平行な方向の運動方程式は：

【Step 2：床に静止した観測者から見た台W（質量 $M$）の運動方程式とつりあい】
作用・反作用の法則より、台Wは小物体から斜面に垂直に右下向きに大きさ $R$ の力を受けます。
この力 $R$ を水平方向（$x$ 軸正：右向き）と鉛直方向（$y$ 軸負：下向き）に分解すると：

• $R$ の水平右向き成分：$R\sin\theta$
• $R$ の鉛直下向き成分：$R\cos\theta$

したがって、台Wの水平方向（右向き正）の運動方程式は：

また、台Wは鉛直方向には動かないので、鉛直方向の力のつりあいより：

【Step 3：連立方程式を解いて $A,\ R,\ N$ を求める】
①式を③式に代入して $A$ を求めます：

これより、問2の分子 [ 3 ] は $mg\sin\theta\cos\theta$ となり、選択肢 ⑩ です！

次に、この $A$ を③式 $R = \dfrac{MA}{\sin\theta}$（または①式）に代入すると、一瞬で $R$ が求まります：

これより、問1の [ 1 ] は $Mmg\cos\theta$ となり、選択肢 ③ です！

さらに、この $R$ を④式に代入して $N$ を求めます：

ここで三角関数の基本公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使うと：

これより、問1の [ 2 ] は $M(M+m)g$ となり、選択肢 ⑤ です！

【Step 1：床から見た小物体の運動方程式を $x, y$ 成分で立てる！】
「相対加速度 $a'$ と台の加速度 $A$ をベクトル合成する」方法でも解けますが、床から見た小物体に働く実際の力は「重力 $mg$」と「垂直抗力 $R$」の2つだけであることに注目すると、もっと簡単に $a_x, a_y$ が求まります！

小物体が受ける力は、鉛直下向きの重力 $mg$ と、斜面に垂直左上向きの垂直抗力 $R$ です。したがって、床から見た小物体の加速度の水平成分 $a_x$（左向き正とします）と鉛直成分 $a_y$（下向き正とします）は：

• 水平方向（左向き）の運動方程式：$ma_x = R\sin\theta \quad \Longleftrightarrow \quad a_x = \dfrac{R\sin\theta}{m}$
• 鉛直方向（下向き）の運動方程式：$ma_y = mg - R\cos\theta \quad \Longleftrightarrow \quad a_y = g - \dfrac{R\cos\theta}{m}$

【Step 2：問1で求めた $R$ を代入して $a_x,\ a_y$ を整理する】
問1より $\dfrac{R}{m} = \dfrac{Mg\cos\theta}{M + m\sin^2\theta}$ です。これを代入すると：

ここで分子の $Mg - Mg\cos^2\theta = Mg(1 - \cos^2\theta) = Mg\sin^2\theta$ なので：

【Step 3：三平方の定理 $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ を計算する】
$a_x$ と $a_y$ の共通因数 $\dfrac{g\sin\theta}{M + m\sin^2\theta}$ をくくり出してからルートをとると計算ミスがゼロになります！

よって、加速度の大きさ $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ は：

ルートの中身を展開し、選択肢の形（$\sin^2\theta$ のみの式）に合わせて $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を代入します：

したがって、$\fbox{ 4 } = \sqrt{M^2 + m(2M+m)\sin^2\theta}$ となり、選択肢 ④ が正解です！

【問4の解法1：等加速度直線運動の公式 $V^2 = 2AL$（または $a'$ と $A$ の比）で秒殺する！】
問1・問2で求めた通り、小物体が斜面上を滑っている間、台の加速度 $A$ も、台から見た小物体の相対加速度 $a'$ も一定の値（等加速度運動）です！
まず、式②に問2の $A$ を代入して、台から見た相対加速度 $a'$ を求めます：

小物体は台の上で高さ $h$、すなわち斜面に沿った距離 $s = \dfrac{h}{\sin\theta}$ を初速度 $0$、一定の相対加速度 $a'$ で滑り降ります。滑り終えるまでの時間を $t$ とすると：

同じ時間 $t$ の間に、台Wは初速度 $0$、一定の加速度 $A$ で距離 $L$ だけ進み、速さ $V$ になります：

まず⑥ $\div$ ⑤を作ると、時間 $t^2$ が消えて問5の移動距離 $L$ が先に一瞬で求まります！

したがって、台Wが移動した距離 $L$ は：

これより、問5の [ 6 ] は選択肢 ⑨ です！

さらに、等加速度直線運動の公式 $V^2 - 0^2 = 2AL$ に今求めた $A$ と $L$ を代入すると、問4の速さ $V$ も瞬殺できます：

両辺のルートをとると：

これより、問4の [ 5 ] は $2m^2gh\cos^2\theta$ となり、選択肢 ⑧ です！

【Step 1：弦の張力 $S_0$ と波の速さ $v_0$】
おもりE（質量 $m$）が最下端で静止しているとき、力のつりあいより弦の張力 $S_0$ はおもりに働く重力と等しくなります：

よって、このとき弦を伝わる横波の速さ $v_0$ は：

【Step 2：基本振動の波長 $\lambda_1$ と振動数 $f_0$】
距離 $L$ の支柱AB間が節となり、中央が腹となる基本振動（1倍振動）では、半波長 $\dfrac{\lambda_1}{2}$ が $L$ に等しいので：

波の基本式 $v_0 = f_0\lambda_1$ より、基本振動数 $f_0$ は：

これより、問1の [ 7 ] は選択肢 ⑤ です！

【Step 1：力学的エネルギー保存則でおもりEの速さ $v_{\text{E}}$ を求める】
小さな輪Dからの距離 $R$ を半径とする円軌道上で、最大の振れ角 $\theta_0$ の位置（一時静止するので速さ $0$）と、角度 $\theta$ の位置（速さ $v_{\text{E}}$）について力学的エネルギー保存則を立てます。
輪Dの高さからの下向き距離はそれぞれ $R\cos\theta_0$ と $R\cos\theta$ なので、角度 $\theta$ の位置は最大角 $\theta_0$ の位置よりも $R(\cos\theta - \cos\theta_0)$ だけ低い位置にあります。よって：

【Step 2：円の中心（輪D）向きの運動方程式で張力 $S(\theta)$ を求める】
角度 $\theta$ のとき、おもりEには輪Dに向かう向きに張力 $S$、逆向きに重力の成分 $mg\cos\theta$ が働いています。半径 $R$、速さ $v_{\text{E}}$ の円運動の運動方程式（中心向き正）を立てると：

ここに①式を代入すると：

【Step 3：張力 $S$ から弦の基本振動数 $f$ を求める】
基本振動数 $f$ は $\sqrt{S}$ に比例します。問1の静止時の張力は $S_0 = mg$ で基本振動数が $f_0 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{mg}{\rho}}$ だったので：

これより、問2の [ 8 ] は選択肢 ⑧ です！

【Step 1：基本振動数 $f(\theta)$ が最大になる位置と最小になる位置】
問2で求めた式 $f(\theta) = f_0\sqrt{3\cos\theta - 2\cos\theta_0}$ において、$0^\circ \le \theta \le \theta_0 < 90^\circ$ の範囲では：

• 最下点（$\theta = 0^\circ$）のとき $\cos 0^\circ = 1$ で最大となり、最大の基本振動数 $f_{\max}$ は：
  $$f_{\max} = f_0\sqrt{3\cos 0^\circ - 2\cos\theta_0} = f_0\sqrt{3 - 2\cos\theta_0}$$
• 最高点（$\theta = \theta_0$）のとき $\cos\theta = \cos\theta_0$ で最小となり、最小の基本振動数 $f_{\min}$ は：
  $$f_{\min} = f_0\sqrt{3\cos\theta_0 - 2\cos\theta_0} = f_0\sqrt{\cos\theta_0}$$

【Step 2：条件式 $f_{\max} = 1.10\,f_{\min}$ から $\cos\theta_0$ を求める】
$f_{\max} = 1.10\,f_{\min}$ の両辺を2乗して $f_0^2$ で割ります：

【Step 3：三角関数表（および手計算チェック）から $\theta_0$ を特定する】
三角関数表で $\cos\theta_0 \fallingdotseq 0.9346$ に最も近い角度を探すと、$\cos 20^\circ \fallingdotseq 0.9397$、$\cos 21^\circ \fallingdotseq 0.9336$、$\cos 22^\circ \fallingdotseq 0.9272$ です。
（もし手元に表がなくても、小角近似 $\cos\theta_0 \fallingdotseq 1 - \dfrac{\theta_0^2}{2} = \dfrac{100}{107}$ より $\theta_0 \fallingdotseq \sqrt{\dfrac{14}{107}} \fallingdotseq \sqrt{0.1308} \fallingdotseq 0.362\text{ [rad]} \fallingdotseq 0.362 \times \dfrac{180^\circ}{3.14} \fallingdotseq 20.7^\circ \fallingdotseq 21^\circ$ と一発で求まります！）
選択肢は $3^\circ$ 刻み（①15, ②18, ③21, ④24, ...）なので、迷わず ③（$21^\circ$） と確定できます！

【問1：3つの時間帯に分けて電流の向きと大きさを調べる】
題意より、電流の正の向きは $\text{a}\to\text{b}\to\text{c}\to\text{d}$（反時計回り）です。図1の頂点の配置（右下 $\text{a}$、右上 $\text{b}$、左上 $\text{c}$、左下 $\text{d}$）をしっかり確認しましょう！

1. 区間① $0 < t < t_1\ \left(t_1 = \dfrac{L_2}{v}\right)$：コイルが磁場に進入する区間
   辺abのみが磁場中にあり、右向きに速さ $v$ で磁束を切ります。レンツの法則より、裏向き（$\otimes$）の磁束の増加を妨げるため、表向き（$\odot$）の磁場を作る向き＝反時計回り（$\text{a}\to\text{b}\to\text{c}\to\text{d}$）に誘導電流が流れます。
   これは定義された「正の向き」……おっと、ここで図1のa, b, c, dの位置と選択肢⑦・⑧を慎重に再確認しましょう！
   Wait! 問題冊子7ページの解答群を見ると、⑦は「、⑧は「となっています！なぜ両方あるのか、「電流は abcd の向きに流れるときを正」と図1の頂点記号の向きを厳密に確認します：
   ・図1では、右下が $\text{a}$、右上が $\text{b}$、左上が $\text{c}$、左下が $\text{d}$ です。
   ・進入時（$0 < t < t_1$）：磁場は表から裏（$\otimes$）。コイル内の裏向き磁束が増えるので、右ねじの法則より反時計回り（$\text{a}\to\text{b}\to\text{c}\to\text{d}$）に誘導起電力 $V_{\text{emf}} = vBL_1$ が生じます。したがって、電流は $\text{a}\to\text{b}\to\text{c}\to\text{d}$ の向き、つまり正（$+I_0 = +\dfrac{vBL_1}{R}$）です！
   ・完全に入った区間（$t_1 < t < t_2$）：辺abと辺cdの両方に上向きの起電力 $vBL_1$ が生じて打ち消し合う（または貫く磁束 $\Phi = BL_1L_2$ が一定）ので、電流は $0$ です。
   ・脱出時（$t_2 < t < t_3$）：裏向き磁束が減るので、時計回り（$\text{d}\to\text{c}\to\text{b}\to\text{a}$）に電流が流れます。これは負（$-I_0 = -\dfrac{vBL_1}{R}$）です。
   よって、「⑦ が問1の正答となります！（※もし電流の正の向きを時計回りと誤読すると⑧を選んでしまう引っかけ選択肢です。図1の $\text{a}\to\text{b}\to\text{c}\to\text{d}$ は反時計回りなので確実に ⑦ です！）